Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými * 16. 7. 1996 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Matematika – 9. ročník Grafická metoda *

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustava rovnic a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 kde a1, b1, c1, a2, b2, c2, náleží množině reálných čísel, se nazývá soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y. Řešením této soustavy nazýváme každou uspořádanou dvojici [x0; y0], která je řešením obou jejích rovnic.

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Jsou dány dvě lineární rovnice se dvěma neznámými x + 2y = 8 2x – 3y = - 5 a tři uspořádané dvojice: [4;2]; [-1;1]; [2;3]. Která z dvojic je řešením první a zároveň i druhé rovnice?

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými 1. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8 [4;2] 2x – 3y = - 5 Dosadíme do první rovnice: x + 2y = 8 4 + 2·2 = 8 8 = 8 L = P Dosadíme do druhé rovnice: 2x – 3y = - 5 2·4 – 3·2 ≠ - 5 2 ≠ - 5 L ≠ P Uspořádaná dvojice je řešením pouze první rovnice.

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými 2. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8 [-1;1] 2x – 3y = - 5 Dosadíme do první rovnice: x + 2y = 8 -1 + 2·1 ≠ 8 1 ≠ 8 L ≠ P Dosadíme do druhé rovnice: 2x – 3y = - 5 2·(-1) – 3·1= - 5 - 5 = - 5 L = P Uspořádaná dvojice je řešením pouze druhé rovnice.

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými 3. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8 [2;3] 2x – 3y = - 5 Dosadíme do první rovnice: x + 2y = 8 2 + 2·3 = 8 8 = 8 L = P Dosadíme do druhé rovnice: 2x – 3y = - 5 2·2 – 3·3 = - 5 - 5 = - 5 L = P Uspořádaná dvojice je řešením první i druhé rovnice.

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Dvě rovnice x + 2y = 8 2x – 3y = - 5 nazýváme: Soustava (dvou) lineárních rovnic se dvěma neznámými. Uspořádaná dvojice [2;3] je řešením první i druhé rovnice. Uspořádaná dvojice čísel, která je řešením první i druhé rovnice této soustavy, se nazývá řešením soustavy lineárních rovnic se dvěma neznámými. Zapisujeme: [x;y] = [2;3]

Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Existují čtyři základní metody řešení soustav dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. - Sčítací metoda - Dosazovcí metoda - Srovnávací metoda - Grafická metoda

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 1. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: ⇒ 2x – y = 4 𝒚=𝟐𝒙 −𝟒 𝒚= −𝒙 −𝟑 𝟐 ⇒ x + 2y = - 3 Vyjádříme z obou rovnic neznámou y Grafem lineární závislosti (funkce) dané rovnicí 𝒚=𝟐𝒙−𝟒 je přímka. Grafem lineární závislosti (funkce) dané rovnicí 𝒚= − 𝒙 − 𝟑 𝟐 je přímka. Souřadnice všech bodů obou přímek jsou řešením (uspořádanými dvojicemi) každé z rovnic. Souřadnice bodu ležícího na obou přímkách – průsečíku – jsou řešením dané soustavy lineárních rovnic.

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 1. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: ⇒ 2x – y = 4 𝒚=𝟐𝒙 −𝟒 ⇒ 𝒚= −𝒙 −𝟑 𝟐 x + 2y = - 3 – 1 3 – 6 2 – 1 3 – 1 – 3 Řešením je [x; y] = [1; -2]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 2. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: 𝒙 – 𝒚 𝟑 =𝟏 ⇒ 𝒚=𝟑𝒙 −𝟑 ⇒ −𝟑𝒙 −𝟐= −𝒚 𝒚=𝟑𝒙+𝟐 Vyjádříme z obou rovnic neznámou y Grafem lineární závislosti (funkce) dané rovnicí 𝒚=𝟑𝒙−𝟑 je přímka. Grafem lineární závislosti (funkce) dané rovnicí 𝒚=𝟑𝒙+𝟐 je přímka. Souřadnice všech bodů obou přímek jsou řešením (uspořádanými dvojicemi) každé z rovnic. Souřadnice bodu ležícího na obou přímkách – průsečíku – jsou řešením dané soustavy lineárních rovnic.

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 2. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: 𝒙 – 𝒚 𝟑 =𝟏 ⇒ 𝒚=𝟑𝒙 −𝟑 ⇒ −𝟑𝒙 − 𝟐 = −𝒚 𝒚=𝟑𝒙+𝟐 – 1 3 – 6 6 – 2 1 – 4 5 Přímky jsou rovnoběžné Soustava lineárních rovnic nemá řešení

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 3. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: 𝟐𝒙 – 𝒚 𝟐 =𝟏 ⇒ 𝒚=𝟒𝒙 − 𝟐 ⇒ −𝟒𝒙+ 𝟐= −𝒚 𝒚=𝟒𝒙 − 𝟐 Vyjádříme z obou rovnic neznámou y Grafem lineární závislosti (funkce) dané rovnicí 𝒚=𝟒𝒙−𝟐 je přímka. Grafem lineární závislosti (funkce) dané rovnicí 𝒚=𝟒𝒙−𝟐 je přímka. Souřadnice všech bodů obou přímek jsou řešením (uspořádanými dvojicemi) každé z rovnic. Souřadnice bodu ležícího na obou přímkách – průsečíku – jsou řešením dané soustavy lineárních rovnic.

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 3. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: 𝟐𝒙 – 𝒚 𝟐 =𝟏 ⇒ 𝒚=𝟒𝒙 − 𝟐 ⇒ −𝟒𝒙+ 𝟐 = −𝒚 𝒚=𝟒𝒙 − 𝟐 – 1 1 – 6 2 2 – 2 6 Přímky navzájem splývají Soustava lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení [x; y] = [x; 4x – 2 ]

* 16. 7. 1996 Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. Shrnutí: 1. Z obou rovnic vyjádříme proměnnou y. 2. Sestrojíme grafy obou závislostí (přímky). 3. Řešením jsou souřadnice bodu (bodů), které leží na obou grafech. Stejně jako u řešení početních, mohou nastat i při řešení grafickou metodou 3 různé situace: Častěji se používá kombinace sčítací a dosazovací metody 1. Grafy se protnou v jediném bodě ⇒soustava lineárních rovnic má jediné řešení. 2. Grafy tvoří dvě rovnoběžné přímky ⇒soustava lineárních rovnic nemá žádné řešení. 3. Grafy tvoří dvě splývající přímky ⇒soustava lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení. *

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 4. Řešte soustavu lineárních rovnic: 4x – 3y = 8 x + 5y = 2 [x;y] = [2;0]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 5. Řešte soustavu lineárních rovnic: [u;v] = [-3;-2]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 6. Řešte soustavu lineárních rovnic: x + 15y = - 5 2x – 3y = 6,5 [x;y] = [2,5; - 0,5]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 7. Řešte soustavu lineárních rovnic: 2u + 4v – 5 = 0 u – v - 1= 0 [u;v] = [1,5; 0,5]

Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými grafickou metodou. 8. Řešte soustavu lineárních rovnic: [x;y] = [- 5; - 7]