Fraktance RC model prvku s konstantní fází Juraj Valsa, říjen 2009

použití -simulace pochodů v elektrochemických systémech, včetně superkapacitorů -regulační obvody v soustavách zlomkového řádu -simulace pochodů ve vírových kotvách asynchronních motorů

Ideální prvek s konstantní fází (CPE)

náhrada činitele s β diskrétním obvodem -obvykle se používá rozvoj exponenciální funkce v řadu, vedoucí na řetězový zlomek

příklad rozvoje rozvoj vede na příčkový článek

příčkový článek RC

příklad charakteristik RC obvodu navrženého podle rozvoje v řetězový zlomek

„dominový řetězový obvod“ celkem 14 rezistorů a 14 kondenzátorů

argumentová (fázová) charakteristika

výsledek je pro většinu aplikací nevyhovující - vychází příliš veliký počet elementů obvodu - prakticky lze dosáhnout pouze argumentu φ=-45° ve značně omezeném pásmu kmitočtů

základní schéma navrženého RC modelu

hodnoty prvků progresivně klesají geometrickou posloupností 0<=a<=1, 0<=b<=1

např. pro a=0.6, b=0.4

vstupní admitance modelu součet admitancí jednotlivých větví

v normovaném měřítku Pro zjednodušení zápisu je výhodné zavést normovaný kmitočet x=ω R1 C1 Potom admitance vstupní impedance Z(x)=1/Y(x).

argument (fáze) impedance v úhlových stupních

Příklad argumentové (fázové) charakteristiky RC modelu pro a=0.6, b=0.4, m=40

modulová charakteristika sklon =-7,2 dB/dek

šířka pásma s konstantní fází a konstantním sklonem přibližně je dána kmitočtem f max

detail fázové charakteristiky

zvlnění 1/per je počet dekád kmitočtu na jednu periodu zvlnění per je pak počet period v jedné dekádě

velikost (amplituda) zvlnění roste s délkou periody proto malým hodnotám součinu a*b odpovídají větší amplitudy ∆φ a naopak je-li součin a*b>0.3, je zvlnění zanedbatelné, ale šířka pásma je velmi malá

charakteristické hodnoty RC modelu m>>1, b=1-a a a*b per0.9561,2561,4751,6131,6611,6131,4751,2560,956 1/per1,0460,7960,6780,6200,6020,6200,6780,7961,046 φ86,0679,0469,4357,7945,0032,2220,5710,963,944 ∆φ∆φ0,2600,1950,1350,1050,0900,1050,1350,1950,260

závislost argumentu na parametru a pro b=1-a

aproximace polynomem 3. stupně pro a+b=1

fáze φ v závislosti na parametrech a, b

argumentové charakteristiky modelu pro a=b=0,5, m=5, 10, 20, 40

princip funkce navrženého modelu s rostoucím kmitočtem se po sekcích modelu šíří „vlna“

princip korekce modelu s malým počtem sekcí

náhrada „levé“ a „pravé“ části modelu nekonečné délky vodivostí Gp a kondenzátorem Cp

RC model s korekčními členy Gp, Cp

účinek korekčních členů při m=5

účinek korekčních členů při m=10

účinek korekčních členů při m=20

charakteristiky korigovaného modelu m=10, a=0.1 až 0.9, b=1-a

prakticky použitelný model φ=-32,2°, v pásmu 100Hz až 30kHz

výběr kondenzátorů z řady E6 a rezistorů z řady E12 nebo E24 řada E řada E řada E

některé kombinace pro RC modely s kondenzátory E6 a rezistory E24, m=5

vzorky modelů pro φ=-45° a φ=-60° v pásmu od 100Hz do 30kHz

schéma vzorku m=4, φ=45°

charakteristika vzorku m=4, R 1 =10kΩ, C 1 =1µF

příklad řešení obvodu v harmonickém ustáleném stavu základní schéma Wienova oscilátoru

klasický Wienův oscilátor se dvěma stejnými kondenzátory kmitočet oscilací a potřebné zesílení

Wienův oscilátor se dvěma stejnými CPEs

určení velikosti modulu D 1

výpočet kmitočtu oscilací a potřebného zesílení v ustáleném stavu kmitočet oscilací

Wienův oscilátor se dvěma stejnými CPEs, R=100Ω

Wienův oscilátor se dvěma rozdílnými CPEs

podmínky oscilací pro případ dvou různých CPEs činitel přenosu

z imaginární části přenosu vypočítáme kmitočet oscilací nelineární rovnici řešíme numericky

porovnání výsledků simulace R=75Ω

řešení náhradních obvodů v přechodném stavu s ideálními CPEs resp. s jejich modely klasické řešení diferenciálních rovnic je obtížné, protože dosud neexistují rutinní postupy podobné metodám Runge-Kutta pokud je však soustava lineární, použijeme s výhodou Laplaceovu transformaci

numerická inverze Lapl. obrazů

výhody -není nutno počítat póly obrazu a provádět rozklad na parciální zlomky -lze invertovat iracionální a transcendentní funkce proměnné s včetně funkcí, vedoucích na zpožděné nebo periodické originály -lze invertovat funkce s exponenty danými necelými čísly -za proměnnou s ve výrazu pro obraz F(s) se dosazují příslušné komplexní hodnoty zcela stejně jako imaginární jω při výpočtu kmitočtových charakteristik v ustáleném harmonickém stavu

ilustrativní příklad (odezva fraktálního systému na jednotkový skok)

výsledný originál f(t) CPU time=0,218 s

příklad fraktálních derivací, obvod m=5, s korekcí tečkovaně odezva ideálního CPE