STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, Neratovice, tel.: , IČO: , IZO: Ředitelství školy: Spojovací 632, Neratovice tel.: , fax , Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu: Moderní škola 21. století Zařazení materiálu: Šablona:IV/2 Stupeň a typ vzdělávání: střední odborné Vzdělávací oblast: všeobecné matematické vzdělávání Vzdělávací obor: veřejnosprávní činnost Vyučovací předmět: matematika Tematický okruh: goniometrické funkce Sada:2Číslo DUM:24 Ověření materiálu ve výuce: Datum ověření: Ročník: VS3 Ověřující učitel: Mgr. Květa Holečková

Název listu: Goniometrické rovnice Jméno autora: Mgr. Květa Holečková Anotace: Materiály jsou určeny pro výuku matematického vzdělávání 4letého oboru veřejnosprávní činnost (humanitní studijní obor). Jsou vytvořeny v PowerPointu. Jde o řešené příklady vhodné pro výklad, opakování či individuální studium žáků s IVP. Klíčová slova: Substituce, vzorce. Klíčové kompetence: Porozumět zadání úkolu, určit jádro problému, navrhnout způsob řešení a zdůvodnit jej. Přesahy a vazby: ZPV Organizace (čas, velikost skupiny, prostorová organizace): 1 vyučovací hodina, třída, učebna vybavená projekční technikou Cílová skupina: 3. ročník Použitá literatura, zdroje: RNDr. Jaroslav Klodner: Matematika pro obchodní akademie, II. díl. Obchodní akademie Svitavy, Velikost: 1 MB

Definice Základní goniometrickou rovnicí nazývám každou rovnici, ve které se vyskytují neznámé jen jako argumenty goniometrických funkcí. Při řešení se zpravidla držíme těchto zásad: a) Je-li v rovnici více funkcí téhož neznámého argumentu, převedeme tyto funkce na funkci jedinou. b) Tuto funkci vypočítáme a najdeme velikost všech základních úhlů.

Protože jsou goniometrické funkce periodické, můžeme určit nekonečně mnoho kořenů pomocí vztahů ω = φ + 2kπ pro funkce sin φ a cos φ, a ω = φ + kπ pro funkce tg φ a cotg φ.

Příklad 1 Řešte rovnici cos 2 x - cos x = 0 a určete všechna řešení cos x (cos x - 1) = 0

Kdyby v zadání bylo uvedeno, že máme určit jen základní kořeny, pak by řešení vypadalo takto:

Příklad 2 Řešte rovnici cos 2 x - 2 sin x + 2 = 0 V rovnici se vyskytují dvě funkce, a proto jednu z nich převedeme na druhou. Vyjdeme ze vztahu: sin 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 - sin 2 x

Dosadíme do rovnice: 1 - sin 2 x - 2 sin x + 2 = 0 sin 2 x - 2 sin x - 3 = 0 Toto je kvadratická rovnice s neznámou sin x.

Příklad 3

Kdyby v zadání úlohy bylo určit základní úhly, pak by řešení vypadalo následovně: x 1 = 30°, x 2 = 60°, x 3 = 210°, x 4 = 240° Úhly x 3 a x 4 jsme získali z úhlů x 1 a x 2 dosazením k = 1.