KMT/FPV – Fyzika pro přírodní vědy 9. přednáška – Kmity+vlny (minulý ak.rok) Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah přednášky Skládání kmitů (rovnoběžné a kolmé kmity) Mechanické vlnění – základní pojmy, rovnice vlnění Odraz vlnění, Stojaté vlnění, chvění

Skládání harmonických kmitů Uvažujme situaci, kdy těleso koná v jedné rovině zároveň dva na sobě nezávislé kmitavé (!) harmonické pohyby. Bude nás zajímat výsledný průběh výchylky z rovnovážné polohy na čase Budeme rozlišovat dva základní případy: A) směry obou kmitání jsou shodné (skládání rovnoběžných kmitů) B) Kmitání jsou navzájem kolmé (skládání kolmých kmitů) Samozřejmě by šlo uvažovat i obecný případ, kdy je úhel mezi kmity jiný než 0° či 90°, tím se však nebudeme zabývat (matematicky náročné) Dvě pružiny spojené gumovým vláknem. Pokud zanedbáme sílu působící ve vlákně, je pohyb bodu S dán složením kmitů obou pružin (polovina výchylky od každé)

Skládání rovnoběžných kmitů Platí princip superpozice: celková výchylka y je dána součtem výchylek jednotlivých kmitání y1 a y2, tj. y = y1 +y2 (výchylky mají kladné i záporné znaménko podle směru vychýlení z RP) Při skládání rovnoběžných kmitů velmi záleží na tom, v jaké vztahu jsou frekvence obou kmitání. i) Frekvence jsou si rovny (ω1 = ω2) – složené kmitání je harmonické s frekvencí ω = ω1 = ω2

Skládání rovnoběžných kmitů 2 Jak bude určena výsledná amplituda (maximální výchylka) A složeného kmitání pomocí výchylek A1 a A2 skládaných kmitání? Bude záviset na fázovém posunu φ mezi oběma kmitáními! Platí: A2 =A12 + A22 + 2*A1*A2*cosφ Speciální případy: φ = 0 → A = A1+ A2 (kmitání ve fázi), φ = π (180°) → A = A1 - A2 (kmitání v protifázi – pro A1 = A2 kmitání zaniká)

Skládání rovnoběžných kmitů 3 ii) Frekvence jsou rozdílné - ω1 ≠ ω2. V takovém případě vzniká vždy neharmonické kmitání. Pokud je jedna frekvence násobkem druhé (např. ω1 = 3*ω2), vzniká alespoň periodické kmitání (významné v akustice). Pokud je podíl frekvencí vyjádřen iracionálním číslem (např. √2), získáváme dokonce neperiodický průběh kmitání!

Skládání rovnoběžných kmitů 4 - rázy Zajímavá situace nastává, pokud jsou si frekvence ω1 a ω2 velmi blízké. V takovém případě dochází k periodickému zesilování a zeslabování složeného kmitání – tzv. rázy. Pokud mluvíme o zesilování zeslabování zvuku, používá se pojem zázněje Využití: měření frekvence neznámých kmitů, když máme k dispozici kmity se známou frekvencí (při shodě rázy zaniknou)

Skládání kolmých kmitů B) dochází k navzájem kolmým kmitům, jejichž frekvence jsou v celočíselném poměru, tj. ω1: ω2 = m/n, kde m a n jsou malá celá čísla. V takovém případě vznikají složením kmitání zajímavé tvary, tzv. Lissajousovy obrazce. Při matematické popisu samozřejmě opět platí princip superpozice, tentokrát však již ve vektorovém tvaru (máme dva směry) Nejjednodušší případ - ω1 = ω2, A1 = A2 a fázový posuv φ = π/2 (90°) – obrazcem je kružnice Obrazce pro poměr frekvencí 1:1, stejné amplitudy a různé fázové posuvy Obrazce pro poměr frekvencí 2:1, stejné amplitudy a různé fázové posuvy

Mechanické vlnění V praxi nás zpravidla zajímá situace, kdy se kmitání přenáší látkovým prostředím, dochází k přenosu energie, ne však k přenosu hmoty. V takovém případě mluvíme o mechanickém vlnění. Klasické případy: zvukové vlnění, vzniká rozkmitáním ladičky či hlasivek. vlnění na rybníce, vzniká rozkmitání hladiny po dopadu kamene vlnění v gumové hadici po rozkmitání jednoho jejího konce Nutnou podmínkou pro vznik vlnění je přítomnost látkového prostředí, mechanické vlnění se nemůže šířit ve vakuu (na rozdíl od elektromagnetického vlnění, jímž je např. světlo, rádiové vlny, rentgenové záření apod.)

Mechanické vlnění 2 Z pohledu částic, které vlnění přenášejí, mohou nastat dvě situace: A) částice kmitají kolmo na směr šíření vlnění – např. vlny na rybníce. Pak mluvíme o tzv. příčném vlnění B) částice kmitají ve směru šíření vlnění – např. zvukové vlnění (periodické zhušťování a zřeďování látky) , pak jde o tzv. podélné vlnění Základním pojem při popisu vlnění – vlnová délka λ (vzdálenost dvou míst, která při šíření vlnění kmitají se stejnou fází) – platí pro ni vztah λ= v*T = v/f, kde v je rychlost vlnění a T perioda

Mechanické vlnění 3 - rovnice Pokusme se nyní vlnění popsat matematicky. Uvažujme, že zdroj vlnění kmitá harmonicky podle vztahu y = A*sin(ω*t). Do místa ve vzdálenosti x od zdroje se vlnění šířící se rychlostí v dostane za čas τ = x/v. Pro jeho výchylku v závislosti na čase t a vzdálenosti x tak dostáváme: y = A*sin(ω*t – x/v). Vyjádření pomocí vlnové délky pak dává rovnici postupného vlnění ve tvaru: y = A*sin 2*π*(t/T– x/λ). Tato rovnice nám při znalosti vlnové délky a frekvence (periody) zdroje umožní spočítat výchylku z rovnovážné polohy v daném čase t v dané vzdálenosti x od zdroje (je to funkce dvou proměnných, času a polohy!) Výraz 2*π*(t/T– x/λ) udává tzv. fázi vlnění.

Skládání (interference) vlnění Co se stane, pokud se setkají dvě vlnění z různých zdrojů (např. dvě vlny na rybníce vzniklé dopadem kamenů)? Dojde k jejich složení interferenci podle principu superpozice. Uvažujme případ skládání dvou vlnění se stejnou vlnovou délkou λ a stejnou amplitudou A1, která se šíří v přímé řadě bodů. O amplitudě výsledného vlnění rozhoduje tzv. dráhový rozdíl d, který je roven vzdálenosti zdrojů vlnění. Pro amplitudu výsledného vlnění platí A = 2*A1*cos (π*d/λ). Pokud je cos (π*d/λ) = 1, bude A = 2*A1 (interferenční maximum) . Pokud je cos (π*d/λ) = 0, bude A = 0 (interferenční minimum) Interfer. maximum Interfer. minimum

Stojaté vlnění Pokud uchytíme hadici na jednom konci a druhým koncem začneme kmitat, můžeme po chvíli pozorovat, že některé body hadice mají maximální výchylku, jiné nekmitají vůbec. Proč? Vlnění se na konci hadice odrazí a postupuje zpět. Skládá se s vlněním postupujícím ke konci hadice (obě mají stejnou amplitudu) a záleží tedy na jejich na dráhovém rozdílu. V místech, kde nastává interferenční maximum, je amplituda maximální (A = 2*A1), vznikají zde tzv. kmitny. V místech, kde je interferenční minimum, je A = 0, vznikají zde uzly. Souhrnně se hovoří o tzv. stojatém vlnění! Poznámka: Stojaté vlnění je velmi významné i u elektromagnetického vlnění, vzniká například v mikrovlnné troubě.

Stojaté vlnění To, kde konkrétně budou uzly a kde kmitny, silně závisí na tom, zda je konec hadice pevně uchycen (tzv. odraz na pevném konci) nebo zda může kmitat (odraz na volném konci). Na pevném konci je samozřejmě uzel, kmitny a uzly se poté střídají vždy po polovinách vlnové délky. Naopak na volném konci je vždy kmitna, opět dochází k periodickému střídání kmiten a uzlů po polovinách vlnové délky. Je důležité si uvědomit, že všechny body kmitají s frekvencí rovnou frekvenci zdroje, liší se pouze tím jako mají amplitudu (kmitny maximální, uzly žádnou, ostatní něco mezi)!

Chvění mechanických soustav Specifickým případem stojatého vlnění je tzv. chvění, které vzniká rozkmitáním pružných těles (struna, deska, tyč apod.) Toto vlnění může mít více frekvencí, základní frekvence je třeba v případě struny dána vztahem f = v/2*l, kde l je délka struny. Další frekvence jsou celočíselné násobky základní frekvence. Pokud chci základní frekvenci struny změnit, musím buď změnit její délku nebo změnit rychlost šíření vlnění v ní (to udělám např. změnou napínací síly, více o tom v dalších přednáškách) Zajímavý případ chvění ve více rozměrech – Chladniho obrazce

Shrnutí hodiny Příští přednáška – 29. 11. 2011 Téma : Akustika Vědět, jaká podmínka musí být při skládání rovnoběžných kmitů splněna, aby vzniklo výsledné kmitání bylo harmonické. Jaký musí být fázový posuv obou kmitání , aby amplituda výsledného kmitání byla maximální, jaký, aby minimální? Vědět, kdy vznikne při skládání rovnoběžných kmitání výsledné kmitání mající neperiodický průběh. Vědět, jaká podmínka musí být splněna, aby vznikly při skládání kmitání tzv. rázy. Vědět, že Lissajousovy obrazce vznikají skládáním navzájem kolmých kmitů Vědět, že mechanické vlnění se nemůže šířit ve vakuu, zatímco elektromagnetické vlnění ano. Vědět, že stojaté vlnění vzniká skládáním původního vlnění a vlnění odraženého na pevném či volném konci bodové řady. Vědět, na čem závisí základní frekvence pro chvění struny. Příští přednáška – 29. 11. 2011 Téma : Akustika