Úprava mnohočlenu na součin pomocí vzorců Autor Mgr. Šárka Čížová Anotace Prezentace PowerPoint je určena pro studenty prvních ročníků všech maturitních oborů ,je zaměřena k osvojení úpravy mnohočlenů na součin užitím vzorců. Výukový materiál slouží také k procvičení svých vědomostí na daných příkladech a následnou kontrolu výpočtů. Očekávaný přínos Žák si zopakuje zápis vzorce, upevní a následně ověří své znalosti na příkladech. Tematická oblast Operace s čísly a výrazy Téma Úprava mnohočlenů na součin pomocí vzorců Předmět Matematika Ročník První Obor vzdělávání Maturitní obory Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Název DUM Š21_S1_18_Úprava mnohočlenů na součin pomocí vzorců Datum 31.8.2013 SOŠ Josefa Sousedíka Vsetín Zlínský kraj
𝐴 2 − 𝐵 2 𝑨 𝟐 − 𝑩 𝟐 = (𝑨+𝑩)(𝑨−𝑩) (1) Rozložte : a) 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝟐𝟓 𝐴=𝑥,𝐵= 1 5 Dostaneme: 𝑥 2 − 1 25 =(𝒙+ 𝟏 𝟓 )(𝒙− 𝟏 𝟓 ) b) 𝟎,𝟎𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟗 𝒚 𝟒 𝐴=0,2𝑥, 𝐵= 8 13 𝑦 2 Dostaneme: 0,04 𝑥 2 − 64 169 𝑦 4 = (𝟎,𝟐𝒙+ 𝟖 𝟏𝟑 𝒚 𝟐 )(𝟎,𝟐𝒙− 𝟖 𝟏𝟑 𝒚 𝟐 )
𝐴 2 ∓2𝐴𝐵+ 𝐵 2 𝐴 2 +2𝐴𝐵+ 𝐵 2 = 𝐴+𝐵 𝐴+𝐵 = 𝐴+𝐵 2 (2) 𝐴 2 −2𝐴𝐵 + 𝐵 2 = 𝐴−𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴−𝐵 2 (3) Rozložte na součin: a) 𝟒 𝒎 𝟐 +𝟐𝟖𝒎𝒏+𝟒𝟗 𝒏 𝟐 použijeme vzorec (2) 𝐴=2𝑚, 𝐵=7𝑛 𝟒 𝒎 𝟐 +𝟐𝟖𝒎𝒏+𝟒𝟗 𝒏 𝟐 = 2𝑚 2 +2∙2𝑚∙7𝑛+ 7𝑛 2 = 𝟐𝒎+𝟕𝒏 𝟐 b) −𝟒𝟗− 𝒗 𝟔 +𝟏𝟒 𝒗 𝟑 po vytknutí (-1) , uspořádáme a použijeme vzorec (3) 𝐴=7, 𝐵= 𝑣 3 −𝟒𝟗− 𝒗 𝟔 +𝟏𝟒 𝒗 𝟑 = (−1)(49−14 𝑣 3 + 𝑣 6 )= − 𝟕− 𝒗 𝟑 𝟐
𝐴 3 ∓3 𝐴 2 𝐵+3𝐴 𝐵 3 ∓ 𝐵 3 𝐴 3 +3 𝐴 2 𝐵+3𝐴 𝐵 3 + 𝐵 3 = 𝐴+𝐵 3 (4) 𝐴 3 −3 𝐴 2 𝐵+3𝐴 𝐵 3 − 𝐵 3 = 𝐴−𝐵 3 (5) Rozložte na součin: 𝒙 𝟑 + 𝟔 𝒙 𝟐 𝒚 +𝟏𝟐𝒙 𝒚 𝟐 +𝟖 𝒚 𝟑 = použijeme vzorec (4) , 𝐴=𝑥, 𝐵=2𝑦 = 𝑥 3 +3 ∙𝑥 2 ∙2𝑦+ 3∙𝑥∙ 2𝑦 2 + 2𝑦 3 = 𝒙+𝟐𝒚 𝟑 −𝟏+𝟑𝒅−𝟑 𝒅 𝟐 + 𝒅 𝟑 = vytkneme (−1) = −1 1−3𝑑+3 𝑑 2 − 𝑑 3 = použijeme vzorec (5), 𝐴=1, 𝐵=𝑑 =− 𝟏−𝒅 𝟑
𝐴 3 ∓ 𝐵 3 𝐴 3 + 𝐵 3 = 𝐴+𝐵 𝐴 2 −𝐴𝐵+ 𝐵 2 (6) 𝐴 3 − 𝐵 3 = 𝐴−𝐵 𝐴 2 +𝐴𝐵+ 𝐵 2 (7) Rozložte na součin: 𝟐𝟕−𝟎,𝟎𝟎𝟖 𝒙 𝟑 𝒚 𝟔 = použijeme vzorec (7), 𝐴=3, 𝐵=0,2𝑥 𝑦 2 = 3−0,2𝑥 𝑦 2 3 2 +3∙0,2𝑥 𝑦 2 + 0,2𝑥 𝑦 2 2 = = 𝟑−𝟎,𝟐𝒙 𝒚 𝟐 𝟗+𝟎,𝟔𝒙 𝒚 𝟐 +𝟎,𝟎𝟒 𝒙 𝟐 𝒚 𝟒 𝟎,𝟐𝟏𝟔+ 𝒙 𝟑 𝟕𝟐𝟗 = použijeme vzorec (6) , 𝐴=0,6 ,𝐵= 𝑥 9 = 0,6+ 𝑥 9 0,6 2 −0,6∙ 𝑥 9 + 𝑥 9 2 = 0,6+ 𝑥 9 0,36− 6 10 ∙ 𝑥 9 + 𝑥 2 81 = = 𝟎,𝟔+ 𝒙 𝟗 𝟎,𝟑𝟔− 𝒙 𝟏𝟓 + 𝒙 𝟐 𝟖𝟏
Procvičování Doplň chybějící členy výrazů : 𝒙 𝟒 − … = … −𝟏 … + 𝟏 … + 𝟐𝒂 𝒛 𝟑 𝒗 + … = 𝒛 𝟑 + … 𝟐 𝒂 −𝟑 𝟐 − …= … −𝒃 𝒂−𝟑 + … 𝒙 𝟑 𝟔𝟒 − … = … −𝟓 … + 𝟓𝒙 𝟒 + … −𝟏𝟐𝟓 𝒉 𝟑 − … − … −𝟏 = − …− … 𝟑
Procvičování - řešení Doplň chybějící členy výrazů : 𝒙 𝟒 − 1 = 𝒙 𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 … + 𝟐𝒂 𝒛 𝟑 𝒗 + … = 𝒛 𝟑 + … 𝟐 𝒂 −𝟑 𝟐 − …= … −𝒃 𝒂−𝟑 + … 𝒙 𝟑 𝟔𝟒 − … = … −𝟓 … + 𝟓𝒙 𝟒 + … −𝟏𝟐𝟓 𝒉 𝟑 − … − … −𝟏 = − …− … 𝟑
Procvičování - řešení Doplň chybějící členy výrazů : 𝒙 𝟒 − 1 = 𝒙 𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒛 𝟔 + 𝟐𝒂 𝒛 𝟑 𝒗 + 𝒂 𝟐 𝒗 𝟐 = 𝒛 𝟑 +𝒂𝒗 𝟐 𝒂 −𝟑 𝟐 − …= … −𝒃 𝒂−𝟑 + … 𝒙 𝟑 𝟔𝟒 − … = … −𝟓 … + 𝟓𝒙 𝟒 + … −𝟏𝟐𝟓 𝒉 𝟑 − … − … −𝟏 = − …− … 𝟑
Procvičování - řešení Doplň chybějící členy výrazů : 𝒙 𝟒 − 1 = 𝒙 𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒛 𝟔 + 𝟐𝒂 𝒛 𝟑 𝒗 + 𝒂 𝟐 𝒗 𝟐 = 𝒛 𝟑 +𝒂𝒗 𝟐 𝒂 −𝟑 𝟐 − 𝒃 𝟐 = 𝒂−𝟑 −𝒃 𝒂−𝟑 +𝒃 𝒙 𝟑 𝟔𝟒 − … = … −𝟓 … + 𝟓𝒙 𝟒 + … −𝟏𝟐𝟓 𝒉 𝟑 − … − … −𝟏 = − …− … 𝟑
Procvičování - řešení Doplň chybějící členy výrazů : 𝒙 𝟒 − 1 = 𝒙 𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒛 𝟔 + 𝟐𝒂 𝒛 𝟑 𝒗 + 𝒂 𝟐 𝒗 𝟐 = 𝒛 𝟑 +𝒂𝒗 𝟐 𝒂 −𝟑 𝟐 − 𝒃 𝟐 = 𝒂−𝟑 −𝒃 𝒂−𝟑 +𝒃 𝒙 𝟑 𝟔𝟒 −𝟏𝟐𝟓= 𝒙 𝟒 −𝟓 𝒙 𝟐 𝟏𝟔 + 𝟓𝒙 𝟒 +𝟐𝟓 −𝟏𝟐𝟓 𝒉 𝟑 − … − … −𝟏 = − …− … 𝟑
Procvičování - řešení Doplň chybějící členy výrazů : 𝒙 𝟒 − 1 = 𝒙 𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒛 𝟔 + 𝟐𝒂 𝒛 𝟑 𝒗 + 𝒂 𝟐 𝒗 𝟐 = 𝒛 𝟑 +𝒂𝒗 𝟐 𝒂 −𝟑 𝟐 − 𝒃 𝟐 = 𝒂−𝟑 −𝒃 𝒂−𝟑 +𝒃 𝒙 𝟑 𝟔𝟒 −𝟏𝟐𝟓= 𝒙 𝟒 −𝟓 𝒙 𝟐 𝟏𝟔 + 𝟓𝒙 𝟒 +𝟐𝟓 −𝟏𝟐𝟓 𝒉 𝟑 −𝟕𝟓 𝒉 𝟐 −𝟏𝟓𝒉−𝟏 = − 𝟓𝒉−𝟏 𝟑
Zdroje Literatura: 1. Hudcová, M. ,Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium.2. vydání dotisk. Praha: Prometheus, 2006. 416s. ISBN 80- 7196- 318-6 2. Petránek, O., Řepová, J. , Calda, E. : Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 1.část.2.vydání Praha: SPN, 2002. 144 s. ISBN 80- 7196-042- X Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Šárka Čížová.