Operace s lomenými výrazy Autor Mgr. Šárka Čížová Anotace Prezentace PowerPoint je určena pro studenty prvních ročníků všech maturitních oborů, je zaměřena k opakování operací s lomenými výrazy. Výukový materiál slouží také k procvičení svých vědomostí na daných příkladech a následnou kontrolu výpočtů. Očekávaný přínos Žák si zopakuje určení smyslu výrazu, upevní a následně ověří své znalosti na příkladech. Tematická oblast Operace s čísly a výrazy Téma Operace s lomenými výrazy Předmět Matematika Ročník První Obor vzdělávání Maturitní obory Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Název DUM Š21_S1_20_Operace s lomenými výrazy Datum 31.8.2013 SOŠ Josefa Sousedíka Vsetín Zlínský kraj

Sčítání a odčítání lomených výrazů Lomené výrazy uvedeme na společný jmenovatel, kterým je nejvhodnější společný násobek jmenovatelů, potom sečteme ( odečteme) čitatele. 𝒂 𝒃 + 𝒄 𝒅 = 𝒂𝒅+𝒃𝒄 𝒃𝒅 , 𝑏≠0, 𝑑≠0 Příklad: 𝟑𝒂 𝒂 𝟐 −𝟏 + 𝒂−𝟏 𝟐𝒂+𝟐 − 𝒂+𝟐 𝟑𝒂−𝟑 = společný jmenovatel: 𝟔 𝒂−𝟏 𝒂+𝟏 = 6∙3𝑎+ 3∙ 𝑎−1 𝑎−1 − 2 𝑎+1 𝑎+2 6∙ 𝑎−1 𝑎+1 = 18𝑎+3 𝑎 2 −6𝑎+3−2 𝑎 2 −6𝑎−4 6 𝑎 2 −6 = = 𝒂 𝟐 +𝟔𝒂−𝟏 𝟔 𝒂 𝟐 −𝟔 , podmínky: 𝒂≠𝟏, 𝒂≠−𝟏

Násobení lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin činitelů dělíme součinem jmenovatelů. Pokud možno dříve než násobíme krátíme. 𝒂 𝒃 ∙ 𝒄 𝒅 = 𝒂 ∙ 𝒄 𝒃 ∙ 𝒅 , 𝒃≠𝟎, 𝒅≠𝟎 Příklad: 𝒂 𝟑 −𝟑 𝒂 𝟐 𝒃+𝟑𝒂 𝒃 𝟐 − 𝒃 𝟑 𝟒 𝒂 𝟐 +𝟒𝒂𝒃+𝟒 𝒃 𝟐 ∙ 𝟖𝒃 𝟑 −𝟖 𝒂 𝟑 −𝟒 𝒂 𝟐 +𝟖𝒂𝒃−𝟒 𝒃 𝟐 = 1. vytkneme 2. užijeme vzorce = 𝒂−𝒃 𝟑 𝟒 𝑎 2 +𝑎𝑏+ 𝑏 2 ∙ −𝟖 𝒂−𝒃 𝒂 𝟐 +𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 −𝟒 𝑎 2 −2𝑎𝑏+ 𝑏 2 = 1. zkrátíme 2. užijeme vzorec = 𝑎−𝑏 3 2 ∙ 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 2 = 1. zkrátíme 2. vynásobíme = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝟐 , podmínky: 𝒂≠𝒃

Dělení lomených výrazů Dělit výrazem je totéž jako násobit výrazem převráceným. Podmínky určujeme ze jmenovatele dělence a čitatele i jmenovatele dělitele. 𝒂 𝒃 : 𝒄 𝒅 = 𝒂 𝒃 ∙ 𝒅 𝒄 = 𝒂𝒅 𝒃𝒄 , 𝒃≠𝟎, 𝒄≠𝟎, 𝒅≠𝟎 Příklad: 𝟐𝟓𝒂 𝒖 𝟐 −𝟐𝟓𝒂 𝒗 𝟐 𝒖−𝒗 : 𝟓 𝒖 𝟑 +𝟓 𝒗 𝟑 𝒖 𝟐 −𝒖𝒗+ 𝒗 𝟐 = : → ∙ = 25𝑎 𝑢+𝑣 𝑢−𝑣 𝑢−𝑣 ∙ 𝑢 2 −𝑢𝑣+ 𝑣 2 5 𝑢+𝑣 𝑢−𝑣 = zkrátíme =𝟓𝒂 , podmínky: u≠∓𝒗

Vypočítejte − 𝟓 𝒂 − 𝟔 − 𝟖𝒂 𝟑𝟔 − 𝒂 𝟐 − 𝟒 𝟔 + 𝒂

Řešení − 5 𝑎 − 6 − 8𝑎 36 − 𝑎 2 − 4 6 + 𝑎 = =− 5 − − 𝑎+ 6 − 8𝑎 6 − 𝑎 ∙ 6 + 𝑎 − 4 6 + 𝑎 =

Řešení − 5 𝑎 − 6 − 8𝑎 36 − 𝑎 2 − 4 6 + 𝑎 = =− 5 − − 𝑎+ 6 − 8𝑎 6 − 𝑎 ∙ 6 + 𝑎 − 4 6 + 𝑎 = = 5 6+ 𝑎 −8𝑎− 4 6− 𝑎 6+𝑎 ∙ 6−𝑎 =

Řešení − 5 𝑎 − 6 − 8𝑎 36 − 𝑎 2 − 4 6 + 𝑎 = =− 5 − − 𝑎+ 6 − 8𝑎 6 − 𝑎 ∙ 6 + 𝑎 − 4 6 + 𝑎 = = 5 6+ 𝑎 − 8𝑎− 4 6− 𝑎 6+ 𝑎 ∙ 6− 𝑎 = = 30+ 5𝑎− 8𝑎− 24+ 4𝑎 6+ 𝑎 ∙ 6− 𝑎 =

Řešení − 5 𝑎 − 6 − 8𝑎 36 − 𝑎 2 − 4 6 + 𝑎 = =− 5 − − 𝑎+ 6 − 8𝑎 6 − 𝑎 ∙ 6 + 𝑎 − 4 6 + 𝑎 = = 5 6+ 𝑎 − 8𝑎− 4 6− 𝑎 6+ 𝑎 ∙ 6− 𝑎 = = 30+ 5𝑎− 8𝑎− 24+ 4𝑎 6+ 𝑎 ∙ 6− 𝑎 = = 6+ 𝑎 6+ 𝑎 ∙ 6− 𝑎 =

Výsledek − 5 𝑎 − 6 − 8𝑎 36 − 𝑎 2 − 4 6 + 𝑎 = =− 5 − − 𝑎+ 6 − 8𝑎 6 − 𝑎 ∙ 6 + 𝑎 − 4 6 + 𝑎 = = 5 6+ 𝑎 − 8𝑎− 4 6− 𝑎 6+ 𝑎 ∙ 6− 𝑎 = = 30+ 5𝑎− 8𝑎− 24+ 4𝑎 6+ 𝑎 ∙ 6− 𝑎 = = 6+ 𝑎 6+ 𝑎 ∙ 6− 𝑎 = = 𝟏 𝟔− 𝒂 Podmínky: 𝒙≠∓𝟔

Počítej samostatně 𝑡+9 𝑡 + 𝑡 9−𝑡 + 81 𝑡 2 −9𝑡 ∙ 𝑡 2 −81 𝑡 3 +729

Kontrola řešení 𝑡+ 9 𝑡 + 𝑡 9− 𝑡 + 81 𝑡 2 − 9𝑡 ∙ 𝑡 2 − 81 𝑡 3 + 729 = 𝑡+ 9 𝑡 + 𝑡 9− 𝑡 + 81 𝑡 2 − 9𝑡 ∙ 𝑡 2 − 81 𝑡 3 + 729 = = 𝑡+ 9 ∙ 𝑡− 9 − 𝑡 2 + 81 𝑡∙ 𝑡−9 ∙ 𝑡− 9 ∙ 𝑡+ 9 𝑡+ 9 ∙ 𝑡 2 − 9𝑡+ 81 = = 𝑡 2 − 81− 𝑡 2 + 81 𝑡 ∙ 1 𝑡 2 − 9𝑡+ 81 = = 0 𝑡 ∙ 1 𝑡 2 − 9𝑡+ 81 = = 0 t≠∓ 9, t≠𝟎

Kontrola znalostí A 𝟏 𝟒−𝒙 − 𝟏𝟐𝒙 𝟔𝟒− 𝒙 𝟑 𝒓−𝟕 𝒓 𝟕−𝒓 + 𝒓+𝟕 𝒓 + 𝟒𝟗−𝒓 𝒓 𝟐 −𝟕𝒓 𝒎− 𝟐 𝒎 𝟐 − 𝟐𝒎+ 𝟒 − 𝟒𝒎− 𝟖 𝒎 𝟑 + 𝟖 : 𝟔𝒎− 𝟏𝟐 𝟐 𝒎 𝟑 + 𝟏𝟔 B 𝟗𝒙 𝟐𝟕− 𝒙 𝟑 − 𝟏 𝟑−𝒙 𝒕 𝟔− 𝒕 + 𝒕+ 𝟔 𝒕 + 𝟑𝟔− 𝒕 𝒕 𝟐 − 𝟔𝒕 : 𝒕−𝟔 𝒗−𝟓 𝒗 𝟐 −𝟓𝒗+𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝒗−𝟓𝟎 𝒗 𝟑 +𝟏𝟐𝟓 : 𝟔𝒗−𝟑𝟎 𝟐 𝒗 𝟑 +𝟐𝟓𝟎

Řešení A 𝟒− 𝒙 𝟏𝟔+ 𝟒𝒙+ 𝒙 𝟐 , 𝒙≠𝟒 −𝟏 , 𝒓≠𝟎, 𝒓≠𝟕 𝒎 − 𝟐 𝟑 , 𝒎≠∓𝟐 𝟒− 𝒙 𝟏𝟔+ 𝟒𝒙+ 𝒙 𝟐 , 𝒙≠𝟒 −𝟏 , 𝒓≠𝟎, 𝒓≠𝟕 𝒎 − 𝟐 𝟑 , 𝒎≠∓𝟐 B 𝒙− 𝟑 𝟗+ 𝟑𝒙+ 𝒙 𝟐 , 𝒙≠𝟑 −𝟏 , 𝒕≠𝟎, 𝒕≠𝟔 𝒗− 𝟓 𝟑 , 𝒗≠ ∓𝟓

Zdroje Literatura: 1. Petránek, O., Řepová, J. , Calda, E. : Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 1.část.2.vydání Praha: SPN, 2002. 144 s. ISBN 80- 7196-042- X 2. Čermák, P., Červinková, P.: Odmaturuj ! z matematiky 1 . 3.vydání(opravené). Brno: DIDAKTIS, 2004. 239s.ISBN 80- 7358-014-4 3. Hudcová, M. ,Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium.2. vydání dotisk. Praha: Prometheus, 2006. 416s. ISBN 80- 7196- 318-6 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Šárka Čížová