12.přednáška integrační metody per partes substituce BRVKA Isaac Newton (1643 - 1727)

BRVKA Metoda per partes Integrační metoda per partes umožňuje integrovat některé funkce ve tvaru součinu. Vychází z derivace součinu: Pokud vztah zintegrujeme, vyjde: nabízí se nám možnost, vypočítat jeden z integrálů na pravé straně pomocí druhého. To je základní myšlenkou metody per partes, pokud má integrál tvar součinu, platí: Poznámka: jednu funkci musíme umět integrovat (označíme ji v´), druhou derivovat (označíme ji u).

Metoda per partes Typické funkce, na které můžeme použít metodu PP: BRVKA Metoda per partes Typické funkce, na které můžeme použít metodu PP: Součin polynomu a snadno integrovatelné funkce. Polynom bude u, druhá funkce bude v´. Při každém použití per partes se sníží stupeň polynomu, někdy je nutno opakovat PP vícekrát. Součin polynomu a mocniny logaritmu. Polynom bude tentokrát v´, druhá funkce bude u. Nezáleží na tom, kterou funkci jak označíme, ale vždy musíme PP použít dvakrát, vyjde rovnice, viz.dále.

Metoda per partes - úlohy BRVKA Metoda per partes - úlohy Vstupní krok píšeme do svislítek. Označíme si funkce u a v´. Provedeme pomocné výpočty, u zderivujeme, v´zintegrujeme. Dosadíme do vzorce pro per partes a dopočítáme.

Metoda per partes - úlohy BRVKA Metoda per partes - úlohy Toto sice jako funkce na per partes nevypadá, ale lehce si ji na vhodný tvar upravíme vynásobením číslem 1. Zkuste nyní tentýž integrál jinou metodou:

Dvojitá per partes - úlohy BRVKA Dvojitá per partes - úlohy Typ úloh, kde 2× využijeme metodu per partes. Po druhém použití získáme tentýž integrál jako na začátku a úlohu převedeme na rovnici. Dále nepočítáme a dosadíme. K celé rovnici přičteme zarámovaný integrál a vydělíme dvěma:

Per partes – úlohy k procvičování BRVKA Per partes – úlohy k procvičování xex+C sinx–xcosx+C (x+1)sinx+cosx+C ex(x2–2x+2)+C (2x–2)sinx+(2+2x–x2)cosx+C ex(2x2–5x+5)+C (x2–2)sinx+2xcosx+C

BRVKA substituce Substituce znamená NAHRAZENÍ. Původní proměnné nahradíme jinými proměnnými, tzn., že zavedeme nové proměnné pomocí těch původních. Řešení substitucí používáme i při řešení rovnic. Myšlenka substituce je nahrazení jistého výrazu jiným jednodušším výrazem a řešení úlohy s tímto substituovaným výrazem. Na konci řešení úlohy většinou dosadíme zpět původní výraz za substituovaný. Aby měla substituce smysl, musí se výraz, v našem případě integrál zjednodušit, a to tak, abychom mohli použít tabulku integrálů nebo metodu per partes.

BRVKA substituce Pokud chceme použít substituci při řešení integrálů, musíme substituovat jak za f(x), tak za dx. Platí: Tato věta nám při praktickém řešení úloh moc nepomůže. Lépe substituci pochopíme na příkladech. Postup: 1) V předpisu funkce najdeme výraz φ(x), za který chceme substituovat, a nahradíme ho proměnnou t. 2) Jeho derivaci φ´(x) a dx nahradíme dt. Podle t budeme integrovat, proto po substituci nesmí zbýt ve funkci žádné x.

BRVKA Substituce - návod Výraz, za který budeme substituovat, je vnitřek závorky, označíme ho t a rovnost zderivujeme. V derivaci se objevují výrazy dx a dt, tzv. diferenciály, budeme je chápat jako symbol proměnné, podle které derivujeme. (Více už by bylo nad rámec tohoto kurzu). Nahradíme v integrálu, co lze, a upravíme předpis integrované funkce tak, aby neobsahoval x. Zintegrujeme podle t a ve výsledku nahradíme t zpátky výrazem v závorce.

BRVKA Substituce - příklady

Substituce – speciální případy BRVKA Substituce – speciální případy 1) Integrály, které už umíme: Tyto integrály můžeme řešit jednoduchou substitucí za lineární výraz ax + b = t. Vidíme, že výsledek odpovídá očekávání. Tuto metodu můžeme použít jen tehdy, pokud se jedná o násobek x v první mocnině.

Substituce – speciální případy BRVKA Substituce – speciální případy 2) Integrály typu: Tyto integrály můžeme řešit substitucí za funkci f(x) = t. Příklad:

Substituce – příklady k procvičování BRVKA Substituce – příklady k procvičování x–ln|1+ex|+C

BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.