Exponenciální a logaritmické rovnice

Prezentace na téma: "Exponenciální a logaritmické rovnice"— Transkript prezentace:

1 Exponenciální a logaritmické rovnice
Mgr. Vladimír Wasyliw

2 Pravidla pro počítání s mocninami
(a.b)n = an. bn ar. as = ar+s ar: as = ar-s (ar)s = ar.s a-r = 1/ar a0 = 1

3 Jednoduché exponenciální rovnice
Pomocí pravidel pro počítání s mocninami upravíme rovnice tak, abychom na obou stranách měli mocninu se stejným základem. Porovnáme exponenty na obou stranách rovnice.

4 82x – 1 = 2x 2 3(2x – 1) = 2x 26x – 3 = 2x 6x-3 = x 5x = 3 x = 3/5
Příklad: 82x – 1 = 2x 2 3(2x – 1) = 2x 26x – 3 = 2x 6x-3 = x 5x = 3 x = 3/5

5 Pravidla pro počítání s logaritmy
1/ logaritmus součinu log a (x.y) = log a x + log a y 2/ logaritmus podílu log a x/y = log a x – log a y 3/ logaritmus mocniny log a xn = n.log a x 4/ změna základu logaritmu

6 Jednoduché logaritmické rovnice
Pomocí pravidel pro počítání s logaritmy upravíme rovnici tak, abychom na obou stranách měli logaritmus se stejným základem (jeden) Porovnáme logaritmovaná čísla

7 Příklady: log7x = log75 + log7 4 Podle pravidla o logaritmu součtu: log7x = log7(5.4) x = 20 log3x = log3 10 – log3 2 Podle pravidla o logaritmu rozdílu: log3x = log3 (10/2) x = 5 log3x = 4.log3 10 log3x = log3 104 x =

8 Logaritmické rovnice řešené substitucí
Výraz logax nahradíme jinou proměnnou (např. y) subst: logax = y Tím rovnici převedeme na jednodušší (nejčastěji kvadratickou)

9 Příklad: log23 x – 7 log3 x + 10 = 0 subst. log3x = y Dostaneme rovnici y2 – 7y + 10 = 0 Rovnice má dvě řešení: y1 = 2 log3x = 2 x1 = 32 = 9 y2 = 5 log3x = 5 x2 = 35 = 243

10 Exponenciální rovnice řešené logaritmováním
Nelze-li převést mocniny na stejný základ, použijeme tzv. logaritmování rovnice. Pomocí pravidla o logaritmu mocniny pak převedeme mocninu na násobek.

11 Příklad: 2x = 53 log 2x = log 53 x.log 2 = 3.log 5 x = 3.log 5 log 2 x = 6,966