Kvadratické nerovnice

Kvadratická nerovnice Kvadratickou nerovnicí o jedné neznámé je každá nerovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c  0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c  0, kde a, b, c  R a a  0. - využijeme znalostí kvadratické funkce, kvadratické rovnice a řešení nerovnic v podílovém tvaru

Grafické řešení kvadr. nerovnic ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 nerovnici převedeme na anulovaný tvar převedeme na funkci načrtneme graf funkce (vrchol, průsečíky s x) dle znaménka v nerci rozhodneme o řešení R–{x} R–{x} R R

Graficky řešte nerovnici x2 + 3x + 3  2x + 9. Příklad: Graficky řešte nerovnici x2 + 3x + 3  2x + 9. Řešení: průsečíky s x: x2 + 3x + 3  2x + 9 x2 + x – 6 = 0 x2 + x – 6  0 f: y = x2 + x – 6 x1 = -3 x2 = 2 P1[-3;0] P2[2;0] f a > 0 ….. parabola otevřená nahoru P = (-∞;-32;∞)

Cvičení: Příklad 1: Graficky řešte dané nerovnice v R: 13x  15 > 2x2 x2  2x + 1  0 x2 + 2x > -6 0,5x2 + 1,5  x x2 + 2x  3 > 0 6x  2x2  4,5 (x – 2)(2x + 7) < 0 (2x + 1)2 < 0 Příklad 2: Rozložte dané kvadratické trojčleny na součin lineárních členů: 5x2 – 4x – 12 2a2 – 5a – 7 9 + 3x2 – 4x 4x2 + 4x + 1

Početní řešení kvadr. nerovnic nerovnici převedeme na anulovaný tvar najdeme kořeny odpovídající kvadr. rovnice D > 0 D = 0 D < 0  x1; x2  x  nerovnice nemá řešení  rozložíme kvadr. trojčlen  nerovnice v součinovém tvaru  nerce má jedno,  nebo žádné řešení  nerovnice má  řešení nebo nemá žádné (dosadíme lib. číslo - např. 0 a dle pravdivosti získané nerovnosti rozhodneme o řešení)

Nerovnice v součinovém tvaru např. (x + 1)(2x + 3) > 0 řešíme podobně jako nerovnice v podílovém tvaru

Příklad 1: V R řešte nerovnici –2x2 + 13x > 15. Řešení: :(–2) x1 = x2 = 5 

Příklad 2: K = {1} K = R a) x2 – 2x + 1  0 b) 0,5x2 – x + 1,5 > 0 V R řešte nerovnice Řešení: a) x2 – 2x + 1  0 b) 0,5x2 – x + 1,5 > 0 x2 – 2x + 1 = 0 x = 1 0,5x2 – x + 1,5 = 0 NEPLATÍ, že nerce nemá řešení D = -2 (x – 1)2  0  0 zvolíme lib. x: x = 0 x – 1 = 0 0,502 – 0 + 1,5 = 1,5 > 0 x = 1 K = {1} K = R

Cvičení: Příklad 1: Řešte dané nerovnice v R: x2  4  0 x2 + 4x < 0 (x  2)(x + 1) > 0 2(x + 3)(x  0,5) > 0 13x  15 > 2x2 x2  2x + 1  0 x2 + 2x > -6 0,5x2 + 1,5  x Příklad 2: Určete, pro která čísla x platí, že jeho druhá mocnina je menší než číslo samo. Příklad 3: Určete, pro která čísla platí, že jeho 2. mocnina je větší než dvojnásobek zmenšený o 2.