Soustava lineárních rovnic o více neznámých I. Rovnice a nerovnice Soustava lineárních rovnic o více neznámých I. VY_32_INOVACE_M1r0113 Mgr. Jakub Němec

Soustava rovnic V minulých lekcích jsme se učili, jak vyřešit rovnici, v níž se nachází jedna neznámá. Známe tedy několik postupů pro rovnice lineární, s neznámou ve jmenovateli, kvadratické a rovnice s neznámou pod odmocninou. V této lekci si ukážeme, jak řešit tzv. soustavu rovnic o více neznámých. Zpravidla budeme počítat se dvěma rovnicemi, z nichž budeme určovat dvě neznámé. Existují dva základní principy, jak lze soustavy řešit – metoda dosazovací a metoda sčítací. Tato lekce se bude věnovat první z nich, tedy dosazovací metodě. Je vhodné připomenout si, že u jednotlivých rovnic soustavy stále platí ekvivalentní úpravy, které jsme si jmenovali a které nám řešení značně zjednoduší.

Užití dosazovací metody při řešení soustavy dvou lineárních rovnic Princip této metody je vcelku jednoduchý. Spočívá ve vyjádření vybrané neznámé a následné dosazení tohoto výrazu do druhé rovnice. Získáme tak jednu lineární rovnici s jednou neznámou, jejíž zjištění by nemělo představovat problém. Při zjištění jedné neznámé by již nemělo činit problém dopočtení druhé neznámé. Stejně jako v případě řešení rovnic s jednou neznámou mohou nastat tři situace – soustava nemá řešení, soustava má jedno řešení nebo má soustava nekonečně mnoho řešení. Těmto situacím se budeme věnovat v následujících cvičeních.

4𝑥+5𝑦−4=13 2𝑦−3=7 4𝑥+5𝑦=17 𝑦=5 4𝑥+5∙5=17 4𝑥+25=17 4𝑥=−8/:4 𝑥=−2 Řešte danou soustavu rovnic a proveďte zkoušku. Nejprve si upravíme rovnice tak, abychom získali v každé rovnici jeden člen s neznámou x, jeden člen s neznámou y a jeden absolutní člen. Tato soustava je velmi jednoduchá, protože ze druhé rovnice nám přímo vyplývá hodnota neznámé y. Tuto hodnotu dosadíme do první rovnice, čímž získáme rovnici s jednou neznámou, kterou snadno vypočteme. Zapíšeme množinu kořenů. Musíme dávat pozor, aby se dodrželo pořadí kořenů! Zkoušku musíme provést pro obě rovnice najednou, aby byla opravdu průkazná. 4𝑥+5𝑦−4=13 2𝑦−3=7 4𝑥+5𝑦=17 𝑦=5 4𝑥+5∙5=17 4𝑥+25=17 4𝑥=−8/:4 𝑥=−2 𝒙,𝒚 = −𝟐;𝟓 𝐿=4∙ −2 +5∙5−4=−8+25−4=13 𝑃=13 𝐿=𝑃 𝐿=2∙5−3=7 𝑃=7

3𝑥+6𝑦+2=8 4𝑥+8𝑦−3=10 3𝑥+6𝑦=6 ⟹𝑥=−2𝑦+2 4𝑥+8𝑦=13 4∙ −2𝑦+2 +8𝑦=13 Řešte danou soustavu rovnic a proveďte zkoušku. Nejprve si upravíme rovnice tak, abychom získali v každé rovnici jeden člen s neznámou x, jeden člen s neznámou y a jeden absolutní člen. Nyní můžeme vyjádřit jednu neznámou z libovolné rovnice. Vhodnější bude vytknout neznámou x z libovolné rovnice (nevznikne nám zlomek ve vyjádřeném výrazu). Dosadíme vyjádřenou neznámou do druhé rovnice. Vypočteme neznámou. Je zřejmé, že soustava nemá řešení, protože „dosazená“ rovnice nemá reálné kořeny. 3𝑥+6𝑦+2=8 4𝑥+8𝑦−3=10 3𝑥+6𝑦=6 ⟹𝑥=−2𝑦+2 4𝑥+8𝑦=13 4∙ −2𝑦+2 +8𝑦=13 −8𝑦+8+8𝑦=13 0𝑦=5 𝑲= ∅

7𝑥−5𝑦−16=−17 6𝑥+2𝑦+10=28 7𝑥−5𝑦=−1 6𝑥+2𝑦=18 ⟹𝑦=−3𝑥+9 𝑦=−3∙2+9 Řešte danou soustavu rovnic a proveďte zkoušku. Nejprve si upravíme rovnice tak, abychom získali v každé rovnici jeden člen s neznámou x, jeden člen s neznámou y a jeden absolutní člen. Nejvhodnější k vyjádření se jeví neznámá y ze druhé rovnice. Dosadíme výraz roven y do první rovnice a vyřešíme ji. Dosadíme hodnotu neznámé x do výrazu, který je roven neznámé y. Zapíšeme množinu kořenů. Provedeme zkoušku. 6𝑥+2𝑦+10=28 7𝑥−5𝑦=−1 6𝑥+2𝑦=18 ⟹𝑦=−3𝑥+9 𝑦=−3∙2+9 7𝑥−5∙ −3𝑥+9 =−1 𝑦=3 7𝑥+15𝑥−45=−1 22𝑥=44/:22 𝑥=2 𝒙,𝒚 = 𝟐;𝟑 𝐿=7∙2−5∙3−16=14−15−16=−17 𝑃=−17 𝐿=𝑃 𝐿=6∙2+2∙3+10=12+6+10=28 𝑃=28

3𝑥−6𝑦=21 ⟹𝑥=2𝑦+7 9𝑥−18𝑦=63 9∙ 2𝑦+7 −18𝑦=63 18𝑦+63−18𝑦=63 0𝑦=0 Řešte danou soustavu rovnic a proveďte zkoušku. Nejvhodnější bude vyjádřit neznámou x z kterékoliv rovnice. Dosadíme do druhé z rovnic a dopočteme hodnotu neznámé y. Zjistili jsme, že rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jak je ze soustavy patrné, jedna neznámá je závislá na druhé. Proto při zvoleném čísle za jednu neznámou dojde k výpočtu druhé neznámé. Máme proto dva způsoby, jak zapsat množinu kořenů, tzn. v závislosti na zvoleném x nebo v závislosti na zvoleném y. Při zkoušce dosadíme jednu neznámou a druhou dopočteme. 3𝑥−6𝑦=21 ⟹𝑥=2𝑦+7 9𝑥−18𝑦=63 9∙ 2𝑦+7 −18𝑦=63 18𝑦+63−18𝑦=63 0𝑦=0 𝑲= 𝒙; 𝒙 𝟐 − 𝟕 𝟐 , 𝒙;𝒚 ∈ ℝ 𝟐 𝑲= 𝟐𝒚+𝟕;𝒚 , 𝒙;𝒚 ∈ ℝ 𝟐 𝑍𝑘. 𝑛𝑎𝑝ř. 𝑥,𝑦 =(1;−3) 𝐿=3∙1−6∙ −3 =3+18=21 𝑃=21 𝐿=𝑃 𝐿=9∙1−18∙ −3 =9+54=63 𝑃=63

Úkol závěrem 1) Řešte soustavu rovnic pomocí dosazovací metody a proveďte zkoušku: a) 4𝑥−𝑦=−6 −12𝑥+3𝑦=18 b) 2𝑥−6𝑦+2=14 4𝑥−9𝑦=𝑥+3 c) 3𝑥+2𝑦=𝑥+𝑦+11 −2𝑥−3𝑦=−𝑥−2𝑦−3

Zdroje Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.