Návrh modelu pro výpočet reálné hodnoty závazku ze smluv životního pojištění Pavel Finfrle Aktuárský seminář, 12.3.2004

Model pro výpočet reálné hodnoty Obsah Ohodnocení smluv životního pojištění Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP obecná formulace konkrétní formulace model intenzity úroku systémy podílu na zisku výsledky simulací Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Ohodnocení portfolia Cíl: poskytnout investorům informace o skutečné situaci pojišťovny 3. základní koncepty US GAAP Implicitní hodnota Reálná hodnota 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty US GAAP Snaha o co nejlepší spárování nákladů a výnosů časové rozlišení co nejstabilnější realizaci zisků dle předepsaného pojistného / EGP / EGM zjištěné odchylky jsou (pokud možno) realizovány postupně "Technologie" best estimate diskontování očekávaným výnosem z kapitálu 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty PVFP, Portfolio Value složka Embedded Value, současná hodnota nejlepšího odhadu budoucích rozdělitelných zisků snaha o okamžité zachycení vzniku / zániku hodnot (tj. budoucích vyplatitelných dividend) zohlednit všechny efekty ovlivňující hodnotu "Technologie" best estimate diskontování rizikovou diskontní mírou 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Reálná hodnota Koncepční rámec IAS cena transferu aktiva / závazku v nevynucené transakci plně informovaných a věci znalých stran DSOP střední současná hodnota peněžních toků plynoucích ze smluv životního pojištění při zohlednění (tržních) rizikových přirážek (MVM) pojištění = "exotický derivát" 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Reálná hodnota Příčiny problémů různorodost pojistných smluv, garancí a opcí poskytovaných pojistníkům volba MVM u rizik neobchodovaných na veřejných trzích nejednoznačně definované chování pojistných smluv ohodnocení plateb ovlivnitelných pojistitelem přístup k primárnímu trhu ocenění opcí pojistníka 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Reálná hodnota 2. obvyklé přístupy k výpočtu Fair Value "Tržní" stochastické modely ocenění pomocí tržních oceňovacích technik (za předpokladu finanční racionality pojistníka) obvykle velmi úzce vymezený okruh smluv, důraz na jeden konkrétní efekt / derivát "Praktické" deterministické modely úprava postupů výpočtu PVFP s případným separátním oceněním některých opcí a garancí 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obsah Ohodnocení smluv životního pojištění Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP obecná formulace konkrétní formulace model intenzity úroku systémy podílu na zisku výsledky simulací Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Tradiční životní pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty Tradiční životní pojištění Problematické vlastnosti hodnoty plnění "ponechané na uvážení pojistitele" komplikované systémy podílů na zisku velké množství současně poskytnutých a neoddělitelných garancí indexace, odkup, redukce, TUM, ... nestandardní, neporovnatelné produkty 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obsah Ohodnocení smluv životního pojištění Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP obecná formulace konkrétní formulace model intenzity úroku systémy podílu na zisku výsledky simulací Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obecná představa pojistník je při rozhodování ovlivněn stavem finančního trhu obvykle ani nemá dostatek informací a znalostí neřídí se pouze optimalizací finančního výnosu "částečná finanční racionalita" odpovídá zkušenosti např. výhodnější produkty - menší počet ukončení u produktu s garantovaným zhodnocením: "pojistník má tím větší tendenci odstoupit od smlouvy, čím je výnosová křivka výš" 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obecná formulace Hodnota závazku (náhodná veličina, na jednotku poj. částky) kde J=1 ... ukončení následkem úmrtí, J=2 ... ukončení následkem storna Emaint intenzita správních nákladů (vč. ink. a odl. získatelských) Eclaim náklady spojené s likvidací, případně vracení provize D' deflátor (diskontování a rizikové přirážky) PS(t) připsané podíly na zisku v čase t pokud pojistná doba n 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obecná formulace Reálná hodnota závazku Finanční trh určován procesy Intenzity dekrementů intenzita úmrtnosti - deterministická intenzita stornovosti - náhodný proces, předpokládáme 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Předpoklady závislost T, J na Ft pouze prostřednictvím , tj. v dalším neuvažujme Emaint, Eclaim a předpokládejme Pak pro N=min{n;w-x} ... maximální doba trvání pojištění dále budeme modelovat 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obecná fomulace a jsou upravené o příslušné rizikové přirážky 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obsah Ohodnocení smluv životního pojištění Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP obecná formulace konkrétní formulace model intenzity úroku systémy podílu na zisku výsledky simulací Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Peněžní toky určujeme reálnou hodnotu 4 peněžních toků 3 procesy - reálná hodnota přísl. toku na intervalu (0,t) pojistného plnění při úmrtí odbytného náhodná veličina - reálná hodnota plnění při dožití Pak 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obsah Ohodnocení smluv životního pojištění Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP obecná formulace konkrétní formulace model intenzity úroku systémy podílu na zisku výsledky simulací Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Požadavky odpovídající časová struktura úrokových sazeb tj. zachycení výnosové křivky f M(0,t) dále: výnosová křivka = tržní křivka forwardových intenzit výpočet ceny dluhopisu malý počet sledovaných hodnot jednoduché vyjádření závislosti intenzity stornovosti a stavu trhu stav trhu = tvar výnosové křivky 12.3.2004 Pavel Finfrle

Hull-White / Vašíčkův model Model pro výpočet reálné hodnoty Hull-White / Vašíčkův model Model okamžité úrokové intenzity r(t) při rizikově neutrální pravděpodobnostní míře P kde a  0 a   0, Wienerův proces při P,  (t) umožňuje vystihnout výnosovou křivku řešením r(t) - Markovský proces, normální rozdělení přírůstků 12.3.2004 Pavel Finfrle

Hull-White / Vašíčkův model Model pro výpočet reálné hodnoty Hull-White / Vašíčkův model při přirozené pravděpodobnostní míře Q W(t) Wienerův proces při Q,  cena rizika Deflátor 12.3.2004 Pavel Finfrle

Intenzita stornovosti Model pro výpočet reálné hodnoty Intenzita stornovosti v(t) očekávaná intenzita stornovosti (případně upravená o rizikovou přirážku) Možný způsob vyjádření závislosti intenzit stornovosti a úroku kde W(t) - Wienerův proces řídící r(t) a  (t) se stanoví tak, aby (za přirozené pravděpodobnosti Q) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Hull-White / Vašíčkův model Model pro výpočet reálné hodnoty Hull-White / Vašíčkův model Nevýhody modelu záporné hodnoty intenzity úroku modelování vývoje výnosové křivky 100%ní korelace pro všechny časy dlouhý konec stabilní v Heath-Jarrow-Mortonově rámci 12.3.2004 Pavel Finfrle

Příklad - kvantily r(t) Model pro výpočet reálné hodnoty Příklad - kvantily r(t) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Příklad - výnos. křivka 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Příklad - výnos. křivka 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Dvoufaktorový model v HJM rámci Reprezentace kde a když 1  0, a  0 a 2  0, nezávislé Wienerovy procesy (při rizikově neutrální pravděpodob. míře) opět k vystižení výnosové křivky 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Dvoufaktorový model ceny rizika příslušné procesům za přirozené pravděpodobnostní míry Q Intenzita stornovosti poměr k1/k2 - míra důrazu na pravou stranu výn. křivky 12.3.2004 Pavel Finfrle

Příklad - kvantily r(t) Model pro výpočet reálné hodnoty Příklad - kvantily r(t) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obsah Ohodnocení smluv životního pojištění Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP obecná formulace konkrétní formulace model intenzity úroku systémy podílu na zisku výsledky simulací Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Systémy podílu na zisku Model pro výpočet reálné hodnoty Systémy podílu na zisku klíčová oblast pro určení závazku ze smlouvy tradičního životního pojištění jak v případě, že záleží na rozhodnutí managementu? VŠECHNY následující systémy "80% z výnosu přesahujícího technickou úrokovou míru je určeno na podíly na zisku" 12.3.2004 Pavel Finfrle

Systémy podílu na zisku Model pro výpočet reálné hodnoty Systémy podílu na zisku Předpokládejme, že garantováno průběžné zhodnocování minimální sazbou typicky technická úroková míra i na dříve připsaných podílech na zisku připsané podíly na zisku vedeny na zvláštním účtu speciálně nezvyšují rizikovou částku tj.  systém podílu na zisku = algoritmus určení RatePS(t) nejjednodušší volba RatePS(t) = r(t) (systém 1) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Aktiva kryjící prostředky rezerv Model pro výpočet reálné hodnoty Aktiva kryjící prostředky rezerv Pevně úročené papíry a vklady dominantní složka finančního umístění ČAP 2001 - 78 %, z toho cenné papíry 66 % účetní výnos obvykle lineární amortizací model: bezkupónové dluhopisy P(t,T) cena dluhopisu se splatností v T v čase t výnos a účetní hodnota metodou efektivní sazby Akcie změna ceny přímo do výsledku jiné typy aktiv neuvažujeme ? strategie (re)investování ? aktivní/pasivní ? jednoduché/reálné ? 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dluhopisy do splatnosti Model pro výpočet reálné hodnoty Dluhopisy do splatnosti Portfolio složeno výhradně z dluhopisů se splatností v N. známe = účetní hodnota rezervy v čase t FaceV(t) nomin. hodnota dluhopisů kryjících rezervu v čase t kde AF(t) efektivní sazba pro amortizaci portfolia Pak RatePS(t) = AF(t) (systém 2) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Obecné portfolio dluhopisů Model pro výpočet reálné hodnoty Obecné portfolio dluhopisů Zaveďme FaceV(t,s) nominální hodnota dluhopisů držených v čase t se splatností v čase s nebo dříve BookV(t,s) účetní hodnota jednotkového dluhopisu v čase t se splatností v čase s Pak AF(t,s) amortizační faktor příslušný BookV(t,s) Požadujeme 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dluhopisy na danou dobu I Model pro výpočet reálné hodnoty Dluhopisy na danou dobu I V čase t jsou volné prostředky investovány do dluhopisů se splatností v t+D Zjednodušení pojišťovna nemá v čase t dluhopisy se splatností v t+D nebo později. Pak FaceV(t,s) je spojitá na a existuje na 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dluhopisy na danou dobu II Model pro výpočet reálné hodnoty Dluhopisy na danou dobu II Pokud platí je splněno. 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dluhopisy na danou dobu II Model pro výpočet reálné hodnoty Dluhopisy na danou dobu II Pokud platí je splněno. úbytek splatných dluhopisů 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dluhopisy na danou dobu II Model pro výpočet reálné hodnoty Dluhopisy na danou dobu II Pokud platí je splněno. změna rezervy zhodnocení portfolia 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dluhopisy na danou dobu II Model pro výpočet reálné hodnoty Dluhopisy na danou dobu II Pokud platí je splněno. zvýšení nominální hodnoty reinvestováním splatných dluhopisů 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dluhopisy na danou dobu III Model pro výpočet reálné hodnoty Dluhopisy na danou dobu III Celkový amortizační faktor v čase t  (systém 3) Případně investování v čase t do dluhopisů se splatností v min{t+D,N} (systém 5) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Akcie - proces ceny při přirozené pravděpodobnostní míře Q a úrokové intenzitě kde S(t) cena akcie (resp. index trhu) v čase t Z(t) je Wienerův proces nezávislý na W(t),  > 0 celková volatilita akciového trhu,   (-1,1) korelace výnosu z akcií s úrokovou mírou  > 0 cena rizika příslušná procesu Z(t) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Akcie  ... podíl akcií v portfoliu kryjícím rezervu, zbytek investován do dluhopisů na danou dobu D Výnos z portfolia požadujeme ! nelze použít jako RatePS(t) - je nutné opožděné podílení na zisku 12.3.2004 Pavel Finfrle

Opožděné podílení na zisku Model pro výpočet reálné hodnoty Opožděné podílení na zisku Nadvýnos je ukládán do speciální rezervy PSBase(t), na základě které se pak stanoví RatePS(t) Jednoduché roční vyhodnocování na konci roku - celá PSBase(t) použita pro stanovení RatePS(t) Rate(t) okamžitý výnos z portfolia (systém 6) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Opožděné podílení na zisku II Model pro výpočet reálné hodnoty Opožděné podílení na zisku II Preciznější sledování nepřipsaných podílů na zisku tj. akt. výnos - technická intenzita - akt. přípis podílů na zisku Požadavky na zůstatek v rezervě podílů na zisku PSBase(t) a) pojistníkům se rozdělí dané procento  z PSBase(t) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Opožděné podílení na zisku II Model pro výpočet reálné hodnoty Opožděné podílení na zisku II Požadavky na zůstatek v rezervě podílů na zisku PSBase(t) b) pojistníkům se rozdělí část PSBase(t) převyšující  procent ze statutární rezervy tzn. požadován zůstatek PSBase(t) ve výši  K(t) (V(t) + PS(t)) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obsah Ohodnocení smluv životního pojištění Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP obecná formulace konkrétní formulace model intenzity úroku systémy podílu na zisku výsledky simulací Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Výnosová křivka a) konstantní f(0,t) = ln (1.045) b) přibližně odpovídající CZ SWAP 31.12.2003 zadána Nelson-Siegelovou křivkou 12.3.2004 Pavel Finfrle

Intenzita stornovosti Model pro výpočet reálné hodnoty Intenzita stornovosti zadána Nelson-Siegelovou křivkou, po rizikové přirážce 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Další vstupy Úmrtnost Gompertz Makeham, odpovídá ČSÚ CZ Muži 2002 dále úmrtnost 1. řádu = úmrtnost 2. řádu (včetně riz. přirážky) Akcie volatilita  = 0.02, korelace s úrokovou mírou  = 0.3 cena rizika  = 0.5 podíl akcií v portfoliu  = 0.3 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Produkt Smíšené životní pojištění doba 20 let vstupní věk 40 let bez nákladových přirážek, tj. pojistné plnění v případě smrti (úmrtnost 1. řádu = úmrtnost 2. řádu) stornosrážka 15 % na poč., lineárně klesá k 0 na konci odbytné 12.3.2004 Pavel Finfrle

Příklad výsledku dvoufaktorový model ,konst. výnos. křivka Model pro výpočet reálné hodnoty Příklad výsledku dvoufaktorový model ,konst. výnos. křivka 12.3.2004 Pavel Finfrle

Hull-White konstantní výnos. křivka Model pro výpočet reálné hodnoty Hull-White konstantní výnos. křivka Reálná hodnota závazku na 100 000 pojistné částky 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dvoufaktorový Model konstantní výnos. křivka Model pro výpočet reálné hodnoty Dvoufaktorový Model konstantní výnos. křivka Reálná hodnota závazku na 100 000 pojistné částky 12.3.2004 Pavel Finfrle

Dvoufaktorový Model CZ výnos. křivka Model pro výpočet reálné hodnoty Dvoufaktorový Model CZ výnos. křivka Reálná hodnota závazku na 100 000 pojistné částky 12.3.2004 Pavel Finfrle

Model pro výpočet reálné hodnoty Obsah Ohodnocení smluv životního pojištění Reálná hodnota závazků ze smluv tradičního životního pojištění Model pro výpočet reálné hodnoty smlouvy ŽP obecná formulace konkrétní formulace model intenzity úroku systémy podílu na zisku výsledky simulací Riziková přirážka k úmrtnosti / stornovosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Riziková přirážka k úmrtnosti Model pro výpočet reálné hodnoty Riziková přirážka k úmrtnosti uvažujme riziko úmrtí (pro stornovost obdobně) obvyklý postup = = zvýšení / snížení úmrtnosti daným procentem nebere do úvahy rozložení rizik v portfoliu  přirážka odpovídá nediverzifikovatelnému riziku tj. náhodným změnám intenzity úmrtnosti Dále: intenzita úmrtnosti stoch. proces  (t) 12.3.2004 Pavel Finfrle

Analogie intenzity úroku a intenzity úmrtnosti Model pro výpočet reálné hodnoty Analogie intenzity úroku a intenzity úmrtnosti r(t) ... okamžitá intenzita úroku  (t) ... okamžitá intenzita úmrtnosti 12.3.2004 Pavel Finfrle

Analogie intenzity úroku a intenzity úmrtnosti Model pro výpočet reálné hodnoty Analogie intenzity úroku a intenzity úmrtnosti r(t) ... okamžitá intenzita úroku  (t) ... okamžitá intenzita úmrtnosti Platí za rizikově neutrální pravděpodob. P za přirozené pravděpodob. Q 12.3.2004 Pavel Finfrle

Riziková přirážka k úmrtnosti Model pro výpočet reálné hodnoty Riziková přirážka k úmrtnosti Předpokládejme, že okamžitá intenzita úmrtnosti je Ornstein-Uhlenbackův proces. Za přirozené pravděpodobnosti Q Předpokládejme, že známe příslušnou cenu rizika D obdobně jako v případě intenzity úroku 12.3.2004 Pavel Finfrle

Riziková přirážka k úmrtnosti Model pro výpočet reálné hodnoty Riziková přirážka k úmrtnosti Za rizikově neutrální pravděpodobnostní míry P Pravděpodobnost přežití po úpravě o rizikovou přirážku je Odpovídající riziková přirážka k očekávané intenzitě úmrtnosti je 12.3.2004 Pavel Finfrle

Riziková přirážka k úmrtnosti Model pro výpočet reálné hodnoty Riziková přirážka k úmrtnosti riziková přirážka na základě analogie s intenzitou úroku tradiční riziková přirážka 12.3.2004 Pavel Finfrle