Pojem funkce Lineární funkce Kvadratické funkce

Definice funkce Doplňte tvrzení: Funkce f je předpis, který každému x z nějaké množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y. Pro x ∈ −5,+∞ jsou hodnoty y kladné Pro x =−5 je hodnota 𝐲= Příklad: Je dána funkce předpisem f: y = x + 5; x ∈𝑅 Přiřaďte hodnoty y hodnotám x. Proveďte zápis do tabulky. Pro x ∈ −∞;−5 jsou hodnoty 𝐲 x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y 6 7 8 9 10 záporné X -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y 6 7 8 9 10 x -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Lineární funkce Každá funkce dána předpisem f: y = ax + b a, b ∈𝑅 se nazývá lineární funkce Příklady lineárních funkcí: f: y = x a = 1 b = 0 f: y = 2x -3 a = 2 b = -3 f: y = -5x + 7 a = -5 b = +7 f: y = 4 a = 0 b = 3 f: y = 𝟐 𝟑 x + 1 a = 𝟐 𝟑 b = +1 Úkoly: Určete průsečíky funkcí (výpočtem) Určete průsečíky funkcí s osou x Určete průsečíky funkcí s osou y Funkce f: y = b se nazývá konstantní funkce

Průběh lineární funkce f: y = ax + b a, b jsou reálná čísla a Kladné (a >0) Záporné (a <0) Funkce je rostoucí a = 0 Funkce je klesající Funkce je konstantní další:

Lineární funkce - rostoucí a > 0 zpět

Lineární funkce – klesající a <0 zpět

Konstantní funkce zpět

Průběh lineární funkce - b

Úkol: Určete, které funkce: Jsou rostoucí, klesající, konstantní Určete předpisy jednotlivých funkcí rostoucí klesající konstantní y = 1 y = 2x - 3 y= 1 2 𝑥+2 y = -2x - 3

Grafem kvadratické funkce je parabola f: y = ax2 + bx + c a≠0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈𝑅 Grafem kvadratické funkce je parabola Příklady kvadratických funkcí: graf funkce f: y = x2 +3x + 2 a = 1 b = 3 c = 2 graf funkce f: y = x2 + 2x - 3 a = 1 b = 2 c = -3 graf funkce f: y = x2 a = 1 b = 0 c = 0 graf funkce f: y = - x2 + 3x - 2 a = -1 b = 3 c = -2 graf funkce f: y = x2 - 4x a = 1 b = -4

zpět

zpět

zpět

zpět

zpět

a < 0  parabola má maximum (vrchol je „nejvyšším“ bodem paraboly) Kvadratická funkce f: y = ax2 + bx + c Význam koeficientu a: a < 0  parabola má maximum (vrchol je „nejvyšším“ bodem paraboly) a > 0  parabola má minimum (vrchol je „nejnižším“ bodem paraboly)

Sestrojte graf funkce f: y = x2 Sestavíme tabulku Sestrojíme graf funkce x -2 -1 1 2 y 4

y ax2 + bx + c Kvadratická funkce Určení souřadnic vrcholu: V[m;n] f: y = ax2 + bx + c y ax2 + bx + c Určení souřadnic vrcholu: V[m;n] y = x2  V[0;0] y = x2 + 2  V[0;2] y = x2 - 4  V[0;-4] y = x2 ± n  V[0; ±n] y = x2+2 V[0;2] y = x2 V[0;0] Závěr? y = x2- 4 U rovnic s předpisem y = x2 ± n Se vrchol paraboly posouvá po ose y (transformace) V[0;-4]

Určení souřadnic vrcholu: V[m;n] y = x2  V[0;0] Kvadratická funkce f: y = ax2 + bx + c Určení souřadnic vrcholu: V[m;n] y = x2  V[0;0] y = (x + 2)2  V[-2;0] y = (x – 4)2  V[4;0] y = (x ± m)2  𝑽 ∓𝒎;𝟎 Závěr? Vrchol se posune po ose x o hodnotu m s opačným znaménkem

Sestrojte do jednoho obr. grafy funkcí: f1: y = x2 – 2 V[0;-2] Kvadratická funkce f: y = ax2 + bx + c Sestrojte do jednoho obr. grafy funkcí: f1: y = x2 – 2 V[0;-2] f2: y = -x2 + 3 V[0;3] f3: y = (x + 1)2 – 3 V[-1;-3] f4: y = -(x – 2)2 + 4 V[2;4] f3 f1 f4 f2

x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 – 9 + 10 = (x + 3)2 + 1  f: y = (x + 3)2 + 1 Příklad 1: Sestrojte graf funkce f: y = x2 + 6x + 10 Kvadratický trojčlen x2 + 6x + 10 upravíme pomocí vzorce (a±b)2: x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 – 9 + 10 = (x + 3)2 + 1  f: y = (x + 3)2 + 1  V[-3;1] (x2 + 6x +9) Přidáme 9 Ubereme 9 V[-3;1]

f1: y = x2 + 10x + 25 y = (x + 5)2  V[-5;0] f2: y = -x2 - 6x – 7 Příklad 2: Sestrojte grafy funkcí daných předpisem: f1: y = x2 + 10x + 25 y = (x + 5)2  V[-5;0] f2: y = -x2 - 6x – 7 y = - (x2 + 6x + 7) y = - [(x + 3)2 - 9 + 7] y = - (x + 3)2 + 2  V[-3;2]