Elipsa chyb a Helmertova křivka Jiří Buneš Pavel Hromádka

Abstrakt Helmertova křivka a elipsa chyb jako nositel informace o středních chybách souřadnic v rovině a v prostoru. Geometrický význam HK a elipsy chyb, její odvození. Ukázka výpočetního prostředí Matlab užitého při vykreslení křivek, ploch a tvorbě uživatelského rozhraní.

Význam elipsy chyb jako nositele informace Elipsa chyb vyjadřuje velikost středních chyb ve směru svých poloos Velikost poloos a,b odpovídá odmocninám vl. čísel kovarianční matice Směr poloos odpovídá vl. vektorům kovarianční matice Elipsa chyb je geometrické místo koncových bodů vektorů majících stejnou hustotu pravděpodobnosti výskytu

Poloosy a,b elipsy chyb

Význam Helmertovy křivky jako nositele informace Helmertova křivka vyjadřuje velikost středních chyb v libovolném směru Pro zjištění velikosti střední chyby užijeme zákon hromadění středních chyb a výsledkem je průvodič HK Zjednodušené vyjádření bez uvážení korelace

Průvodič HK Průvodič ECH

Vznik fce. elipsy chyb z hustoty pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 2D chyby V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. elipsy Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6% případů

Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 2D chyby V případě proměnné hustoty pravděpodobnosti (korelované), je rce. elipsy

V případě závislých (korelovaných) stř V případě závislých (korelovaných) stř. chyb má elipsa své poloosy pootočeny a proto je potřeba souřadnice x a y transformovat do nové soustavy pro zjištění velikosti poloos Úhel stočení Transformační rce

Helmertova plocha a elipsoid chyb HP a ECH mají svou podobu i v 3D, stejně jako v rovině je největší rozdíl mezi oběma plochami to, že ECH zobrazuje stř. chybu v jednotlivých poloosách, kdežto HP v libovolném směru Opět je zde volen parametr t jež určuje procento výskytu možných hodnot

Poloosy a,b,c elipsoidu chyb Řešení vl. Čísel této matice vede k rovnici 3. stupně

Význam HP jako nositele informace Pro zjištění střední chyby v libovolném směru zjistíme velikost průvodiče v daném místě Pro zjištění rozdělení pravděpodobnosti v požadovaném směru vedeme řez HP a výsledkem je Gaussova křivka rozdělení hustoty pravděpodobnosti

Zjednodušené vyjádření průvodiče HP a ECH bez uvážení korelace Odvození je provedeno pomocí zákona hromadění středních chyb Průvodič HP Průvodič ECH

Vznik fce. elipsoidu chyb z hustoty pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 3D chyby V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. Elipsoidu Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6% případů

Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 3D chyby

Vysvětlivky Geometrické charakteristiky rozptylu

Příklad Vyrovnání jednoduché vázané sítě kde byly měřeny pouze délky a ukázka použití ECH a HK v praxi za použití skriptu vytvořeného v prostředí Matlab Kovarianční matice

Parametry a,b elips vypočtené jako vl. čísla diagonálních submatic Situační náčrt

Vykreslení HK a ECH bod 407

Vykreslení HK a ECH bod 422

Vykreslení HK a ECH bod 424

Děkuji za pozornost