PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM Mgr. Martina Fainová POZNÁMKY ve formátu PDF

DEFINICE kčlená permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje alespoň jednou. Poznámka: Je důležité, kolikrát se každý prvek v k-tici opakuje.

PERMUTACE s opakováním Značení: počet permutací s opakováním z n prvků, v nichž se 1. prvek opakuje k1 krát, 2. prvek k2 krát, … až n-tý prvek kn krát Výpočet:

Příklad 1: Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova ABRAKADABRA. Řešení: A B D K R 5krát 2krát 1krát 1krát 2krát = 83 160 Písmena tohoto slova lze přemístit 83 160 způsoby

b) V kolika z nich není žádná pětice sousedních písmen tvořena pěti písmeny A? Příklad 1: Řešení: 1) Určíme počet možností, že je pět písmen A vedle sebe. A B D K R 1krát 2krát 1krát 1krát 2krát = 1 260 2) Odečteme získaný počet od celkového počtu přemístění. = 81 900 83 160 - 1 260

Určete počet všech 4ciferných přiroz. čísel dělitelných 9, v jejich dek. zápisu nejsou jiné číslice než 0, 1, 2, 5, 7. Příklad 2: Řešení: Číslo děl. 9  cifer. součet děl. 9 9 18 27 nelze 7, 2, 0, 0 7, 7, 2, 2 7, 1, 1, 0 7, 5, 5, 1 5, 2, 2, 0 5, 2, 1, 1

Počet hledaných 4ciferných čísel je 54. Příklad 2: Počet hledaných 4ciferných čísel je 54. Řešení: 6 + 12 + 6 + 9 + 9 + 12 18: 7, 7, 2, 2 P´(2,2) = 6 7, 5, 5, 1 P´(1,2,1) = 12 9: 7, 2, 0, 0 P´(1,1,2) - P´(1,1,1) = 12 - 6 = 6 7, 1, 1, 0 P´(1,2,1) - P´(1,2) = 12 - 3 = 9 5, 2, 2, 0 P´(1,2,1) - P´(1,2) = 9 5, 2, 1, 1 P´(1,1,2) = 12 54

Cvičení: Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky na dvě pevně zvolené řady šachovnice. král, dáma, 2 věže, 2 koně, 2 střelci, 8 pěšáků Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven 3. Určete, kolika způsoby je možno přemístit písmena slova BATERKA tak, aby se souhlásky a samohlásky střídaly.

Cvičení: Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, které lze sestavit z cifer 5 a 7, má-li v každém z nich být číslice 5 právě třikrát nejvýše třikrát aspoň třikrát 5. Určete počet všech deseticiferných přir. čísel, jejichž ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých?