Lineární algebra pro IT Ing. Petr Beremlijski, Ph.D. Katedra aplikované matematiky, FEI petr.beremlijski@vsb.cz, místnost PI 350 http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm

Aplikace I: dopravní problém x1,1 x1,2 x1,3 x2,2 x2,3 x2,4 x3,1 x3,4 S1=100 S2=300 S3=50 Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace I: dopravní problém Soustava lineárních rovnic: Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace I: dopravní problém 100 170 30 50 S1=100 S2=300 S3=50 Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace I: dopravní problém Řešitelnost soustavy soustava nemá řešení (zboží nelze rozvést) soustava má jediné řešení (zboží lze rozvést jediným způsobem) soustava má nekonečně mnoho řešení (zboží lze rozvést různým způsobem – možno dále specifikovat jakým) Maticový zápis soustavy: Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace I: dopravní problém Náklady na přepravu zboží: O1=100 O2=170 O3=100 O4=80 c1,1=1 S1=100 S2=300 S3=50 c1,2=4 c1,3=2 c2,2=1.5 c2,3=2.5 c3,1=2 c2,4=0.5 c3,4=0.5 Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace I: dopravní problém Optimalizační úloha: Maticový zápis: Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace II: vyhledávací nástroje Knihovny o tisících knih či jiných dokumentů Manuální indexování pomocí klíčových slov Boolovské vyhledávání Internet o miliónech webových stránek a dalších dokumentů Vyhledávání na základě podobnosti k dotazu Statisíce klíčových slov Automatické indexování Vyhledávací nástroje jsou založeny na základech lineární algebry! Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace II: seznam receptů R1: Čočka po orientálsku       Ingredience: cca 1/4 kg čočky, 2 rajčata, 1 mrkev, 1 větší cibule, kousek celeru (nemusí být), sůl, olej, špetka saturejky, kari podle chuti R2: Fazole s klobásou       Ingredience: 300 g bílých fazolí, 2 bobkové listy, 200 g klobásy, 1 velká cibule, 2 lžíce hladké mouky, 1 lžíce mleté papriky, 4 lžíce kečupu, 1 palička česneku, majoránka R3: Klobásový koláč se špenátem       Ingredience: 250 g polohrubé mouky, 140 g másla, sůl, 1 cibule, 300 g mraženého špenátu, pepř, muškátový oříšek, 2 lžíce strouhanky, 500 g bílé klobásy v celku, 1 lžíce oleje, 100 g strouhaného sýra (např. goudy), 3 vejce, 6 lžic mléka Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace II: seznam receptů II R4: Chilli con carne       Ingredience: 500 g mletého hovězího masa, 200 g červených fazolí, 2 lžíce oleje, 1 cibule, 2 zelené papriky, 500 g rajčat, 2 stroužky česneku, 1 lžíce sladké papriky, 1/2 lžička chilli, 1/2 lžičky oregana, 1/4 lžičky pepře, bobkový list, petželka, sůl R5: Argentinská čočka       Ingredience: 350 g čočky, olej, 2-3 velké cibule, 1 klobása, ostrý kečup Hamé, sůl, pepř R6: Čočka s kuřecím masem a mandlemi       Ingredience: 200 g čočky, 500 g kuřecích prsíček, 2 cibule, 100 g plátků mandlí, sůl, kari koření, 2 bobkové listy, olej Recepty převzaty z www.recepty.cz Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace II: klíčová slova Fazole (Fazolí) Čočka (Čočky) Kuřecí (Kuřecího) Hovězí (Hovězího) Klobása (Klobásy) Česnek (Česneku) Je třeba provést indexování K1 se vyskytuje v R2,4 K2 se vyskytuje v R1,5,6 K3 se vyskytuje v R6 K4 se vyskytuje v R4 K5 se vyskytuje v R2,3,5 K6 se vyskytuje v R2,4 Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace II: matice klíčových slov a dokumentů Řádky matice reprezentují klíčová slova Sloupce reprezentují dokumenty Prvky matice představují počty výskytů klíčových slov v dokumentech Sloupcové vektory pak představují výskyt klíčových slov v dokumentech Úvodní přednáška LA-IT

Úvodní přednáška LA-IT Aplikace II: dotazy Vyber „zdravý“ recept, tj. který bude obsahovat fazole, čočku a nebo kuřecí maso Vektorový zápis: q1=[1,1,1,0,0,0] Vyber „nezdravý“ leč „chutný“ recept, který obsahuje klobásku a česnek Vektorový zápis: q2=[0,0,0,0,1,1] Výběr receptů tak závisí na „blízkosti“ dotazů q1, q2 k jednotlivým sloupcům matice A popisují výskyty klíčových slov v jednotlivých dokumentech Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace II: test blízkosti Vzdálenost bodu dotazu od bodu definovaného sloupcem matice A Cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace II: výsledek vyhledávání Test blízkosti: cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A Fazole s klobásou Dotaz q1 Dotaz q2 Čočka s kuřecím masem a mandlemi Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace III: délka lana Určete potřebnou délku lana aby se astronaut dostal do vzdálenosti L=12m od kosmické lodi. L u G Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace III: délka lana G u0 a0 u1 a1 u2 a2 P u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 h Linearizace úlohy: u1- u0 h u2- u1 Malé deformace: Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace III: délka lana u0 u1 a0 a1 P1 -P1 P0 G Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace III: délka lana Soustava lineárních rovnic: Au=b Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace III: délka lana u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 h Aplikace III: délka lana Výpočet délky: [0,u0] [h,u1] Norma vektoru: K tomu aby se astronaut dostal do vzdálenosti 12m od lodi je zapotřebí lano o délce 12,31m. Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace IV: složitější úloha At=b Úvodní přednáška LA-IT

Aplikace V: ještě složitější úloha Úvodní přednáška LA1

Paralelní řešení

Paralelní řešení

Paralelní řešení

Škálovatelné algoritmy V případě paralelních algoritmů je výpočetní náročnost přímoúměrná počtu neznámých Úvodní přednáška LA-IT

Současné superpočítače Tianhe-2 Intel Xeon E5 Kylin Linux 3 120 000 jader 33.86 PetaFlops http://www.top500.org National University of Defense Technology, Guangzhou,China

IT4Innovations – superpočítač v Ostravě http://www.it4i.cz/stavba.php

IT4Innovations – superpočítač v Ostravě Malý klastr – Anselm zprovozněn v květnu 2013 http://www.it4i.cz/hpc-hardware.php http://support.it4i.cz/docs/anselm-cluster-documentation Velký klastr předpokládáné uvedení do provozu na konci roku 2014

www.it4innovations.eu www.it4i.eu www.it4innovations.cz www.it4i.cz

Úvodní přednáška LA-IT Obsah předmětu Operace s vektory a maticemi vlastnosti těchto operací Řešení soustav lineárních rovnic Teorie vektorových prostorů řešitelnost soustav lineárních rovnic Lineární zobrazení a transformace zobecnění soustav lineárních rovnic Multilineární zobrazení, determinanty Úvod do spektrální analýzy Úvod do analytické geometrie Úvodní přednáška LA-IT

Úvodní přednáška LA-IT Cíle předmětu Seznámení se se základy maticového počtu Zvládnutí principů řešení soustav lineárních rovnic (řešení, teoretické souvislosti) Porozumění pojmu vektorového prostoru (jeho vlastnosti a použití) Seznámení se s pojmy, základními vlastnostmi a užitím lineárních a multilineárních zobrazení a problematikou s nimi související Pochopení základních pojmů spektrálni analýzy Aplikace Úvodní přednáška LA-IT

Organizace výuky Úvodní přednáška LA-IT LB1IKT02, LB1IKT03, LB1IKT09, LB1IKT10 LB1IKT02, LB1IKT03 LB1IKT02 LB1IKT03 LB1IKT09, LB1IKT10 LB1IKT09 LB1IKT10 Přednáška (P) Demonstrované Cvičení (C1) Cvičení (C) Úvodní přednáška LA-IT

Úvodní přednáška LA-IT Hodnocení Cvičení (30 bodů) Písemný test 1 (10 bodů), minimálně 3 body je nutno získat Písemný test 2 (10 bodů) , minimálně 3 body je nutno získat 1 písemný test je možno opravit Zápočtový projekt (10 bodů) Udělení zápočtu: min 10 bodů Písemná zkouška (70 bodů) nevyhověl (0-50 bodů) dobře (51-65 bodů) velmi dobře (66-85 bodů) výborně (86-100 bodů) Úvodní přednáška LA-IT

Úvodní přednáška LA-IT Literatura Základní literatura Z. Dostál, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2000 Z. Dostál, V. Vondrák, D. Lukáš, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2012 http://mi21.vsb.cz/modul/linearni-algebra M. Demlová, B. Pondělíček, Úvod do algebry, ČVUT Praha 1996 Sylaby přednášek na http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm Doplňková literatura L.Šindel, Sbírka úloh z algebry, VŠB-TU Ostrava 2006 B. Budinský, J. Charvát, Matematika I, SNTL Praha 1987 V. Havel, J. Holenda, Lineární algebra, SNTL/Alfa Praha 1984 J. Schmidtmayer, Maticový počet a jeho použití v technice, SNTL Praha 1967 J. Vrbický, D. Šalounová, M. Sedláček, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 1994 Sylaby cvičení na http://homel.vsb.cz/~ber95/LAIT/lait.htm Úvodní přednáška LA-IT