Petr Beremlijski a Marta Jarošová Projekt SPOMECH Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava září 2012. Základy matematického.

Prezentace na téma: "Petr Beremlijski a Marta Jarošová Projekt SPOMECH Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava září 2012. Základy matematického."— Transkript prezentace:

1 Petr Beremlijski a Marta Jarošová Projekt SPOMECH http://spomech.vsb.cz/ Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava září 2012. Základy matematického modelování Proč je třeba rozumět matematice?

2 Proč je třeba rozumět matematice a co na to Simpsonovi? Co je to matematické modelování? Proč je dobré umět nalézt minimum funkce a jak to udělat? Jednoduchá úloha – jaký je rovnovážný stav kuličky na pružině? Jak vyřešit složitou úlohu? Osnova přednášky:

3 Proč je třeba rozumět matematice a co na to Simpsonovi?

4

5 Reálný problém Matematický model Numerická úloha Numerické řešení úlohy Co je to matematické modelování?

6 Strunné nástroje Rovnice struny Diskretizovaná rovnice struny Aproximace průhybu struny Diskretizace geometrie úlohy – metoda sítí Řešení lineární soustavy rovnic – Gaussova eliminace nebo iterační metoda Lineární model Co je to matematické modelování?

7 Strunné nástroje Rovnice struny Diskretizovaná rovnice struny Aproximace průhybu struny Co je to matematické modelování?

8  Chyba matematického modelu  Chyba metody  Chyba aproximace  Chyby v kódu algoritmu  Chyby ve vstupních datech  Zaokrouhlovací chyby, chyby zápisu čísla v počítači Co je to matematické modelování?

9 Hledejme lokální minima funkce f(x): Jak nalézt minimum funkce?

10 Hledejme globální minimum funkce f(x) na množině  : Jak nalézt minimum funkce s omezením?

11 Trochu historie: první optimalizační úlohy – Didó (založení Kartága - 825 př. n. l.) O stereometrii vinných sudů (1615)– Kepler (1571 - 1630) lokalizace extrému – Fermat (1601 - 1665) diferenciální kalkul - popis minima funkce – Newton (1643 - 1727), Leibniz (1646 - 1716) jiné diferenciální kalkuly - popis minima „škaredé“ funkce (tj. funkce, která nemá v některém bodě derivaci) – Clarke Jak nalézt minimum funkce?

12 Dva přístupy: 1. Analytický přístup (hledáme body x, pro které platí ) 2. Numerický přístup (hledáme body x, pro které platí nebo hledáme „přímo“ extrém) Jak nalézt minimum funkce?

13 Hledáme body x, pro které platí Newtonova metoda Hledáme „přímo“ extrém Bisekce, spádové metody http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/animace _metody_optimalizace.html http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/animace _metody_optimalizace.html Jak nalézt minimum funkce – numerický přístup?

14 Dva přístupy: 1. Analytický přístup (hledáme „podezřelé“ body – lokální minima uvnitř  nebo krajní hodnoty) 2. Numerický přístup (použijeme některý z klasických postupů, ale tak abychom zůstali v  ) Jak nalézt minimum funkce s omezením?

15 Možné řešení: Převedeme úlohu s omezením na úlohu bez omezení pomocí penalty  Jak nalézt minimum funkce s omezením –numerický přístup?

16 Jaký je rovnovážný stav kuličky na pružině? kulička o hmotnosti m

17 Řešení: m=1x 1 =0, x 2 =-0.5 m=2 x 1 =0, x 2 =-1 m=3 x 1 =0.25, x 2 =-1.25 m=4 x 1 =0.5, x 2 =-1.5 m=5 x 1 =1, x 2 =-2 m=10 x 1 =1, x 2 =-2 Jaký je rovnovážný stav kuličky na pružině?

18 Paralelní řešení Jak vyřešit složitou úlohu?

19 Paralelní řešení Jak vyřešit složitou úlohu?

20 Paralelní řešení Jak vyřešit složitou úlohu?

21 Děkuji za pozornost a přeji pěkný den!