Základy rovnoběžného promítání

Zobrazování (promítání) prostorových útvarů do roviny je základní úlohou deskriptivní geometrie. Přitom podle požadavků se používá různých promítacích technik. Například:  Obrázek by měl být názorný a takový, aby odpovídal našemu vidění: Stereoskopické promítání - velmi složité – složené ze dvou středových promítání – obrázky odpovídají našemu vidění tělesa. Středové promítání a jeho varianta (při respektování dalších podmínek) perspektiva je stále ještě složité středové promítání. Obrázky odpovídají našemu vidění jedním okem. Perspektiva objektu (ve stavebnictví) je přitom důležitou součástí projektu. Nevýhodou těchto promítání je jejich složitost, protože rozměry zobrazovaného tělesa (objektu) se různě zkreslují. Promítací paprsky prochází jedním vlastním (konkrétním) bodem - tzv. středem promítání.  Obrázek by měl být názorný ale nemusí přesně odpovídat našemu vidění tělesa: Axonometrie ( kolmá, šikmá axonometrie, šikmé-(kosoúhlé, klinogonální)promítání) je značně jednodušší způsob zobrazování, kdy promítací paprsky jsou vzájemně rovnoběžné.  Obrázek nemusí být názorný, ale musí se z něj určit délky hlavních rozměrů tělesa: Kótované promítání – rovnoběžně promítání na jednu průmětnu. Mongeovo promítání - rovnoběžné (kolmé) promítání na dvě navzájem kolmé průmětny.

 přímka - přímky označujeme malými psacími písmeny a, b, c,…. Slovníček:  Průmětna - rovina do níž promítáme.  Promítací paprsek - přímka spojující promítaný bod se středem promítání (vlastním či nevlastním (v nekonečnu)).  Střed promítání - pevně daný bod, kterým musí procházet všechny promítací paprsky. Střed S neleží v průmětně.  Směr promítání - všechny vzájemně rovnoběžné promítací paprsky (jdoucí nevlastním středem promítání S).  Průmět bodu - průsečík promítacího paprsku, který daným bodem prochází, s průmětnou. Základní útvary v prostoru jsou :  bod - body označujeme velkými tiskacími písmeny - A, B, C,…  přímka - přímky označujeme malými psacími písmeny a, b, c,….  rovina - roviny označujeme písmeny řecké abecedy , , ….

 přímka je dána bodem a nějakým určujícím směrem Přímka - a její možná zadání:  přímka je dána dvěma různými body - označení: p(A,B) ( nebo p=AB, p=(A,B))  přímka je dána jako průsečnice dvou rovin - označení: p=   (nebo p(,), p=(,))  přímka je dána bodem a nějakým určujícím směrem  přímka p je rovnoběžná s danou přímkou q a prochází bodem A ( p; Ap q)  přímka p je kolmá k rovině  a prochází bodem A (p; Ap ) Rovina - a její možná zadání  rovina je dána třemi body neležícími na jedné přímce - označení: (A,B,C) ( nebo =ABC, =(A,B,C))  rovina je dána přímkou a bodem na ní neležícím - označení =(p,A) Ap  rovina je dána dvěma rovnoběžnými přímkami  rovina je dána dvěma různoběžnými přímkami  rovina je dána bodem a směrem svého normálového vektoru (rovina je kolmá k zadané přímce a prochází bodem A- zápis: ; A   p)  rovina je rovnoběžná se zadanou rovinou  a prochází bodem A- zápis: ; A  .

Slovníček :  Stopník - průsečík přímky s průmětnou (půdorysný stopník, nárysný stopník). Stopník může být i nevlastní (tz. Je v nekonečnu je-li přímka s průmětnou rovnoběžná).  Stopa – průsečnice roviny s průmětnou (půdorysná stopa, nárysná stopa). Stopa může být též nevlastní, je-li rovina s průmětnou rovnoběžná.  Hlavní přímky první osnovy – přímky ležící v rovině, které jsou rovnoběžně s půdorysnou, jejich půdorysy jsou rovnoběžné s půdorysem půdorysné stopy (půdorysnou stopou.  Spádové přímky první osnovy – přímky ležící v rovině kolmo k půdorysné stopě a tedy také ke všem hlavním přímkám první osnovy.  Hlavní přímky druhé (třetí) osnovy – (mluvíme o nich v tom případě, že používáme více průměten) - jsou přímky v rovině, které jsou rovnoběžné s nárysnou (bokorysnou) Jejich nárysy (bokorysy) jsou rovnoběžné s nárysnou (bokorysnou) stopou roviny.  Spádové přímky druhé osnovy – jsou pro změnu přímky v rovině kolmé k nárysné stopě a ke všem přímkám druhé osnovy.  Přímka ležící v rovině má stopníky na stopách roviny. Platí to pro všechny přímky v rovině, tedy i pro hlavní a spádové přímky!!!  Bod ležící v rovině -- musí ležet na nějaké přímce v rovině ležící. (Těch je ovšem nekonečně mnoho. Stačí si správně vybrat. Nejčastěji používáme hlavní přímky, protože známe, jaké mají průměty.) Bod v rovině, známe-li rovinu, je vždy zadán pouze jedním průmětem.(Druhý průmět musíme odvodit.)

 MP – zkratka pro Mongeovo promítání.  KA – zkratka pro kolmou axonometrii. Protože se budeme zabývat pouze rovnoběžným promítáním, je nutné si vrýt do paměti:  Rovnoběžné průměty rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné.  Stopy rovnoběžných rovin jsou rovnoběžné.  Průmět úsečky je vidět ve skutečné velikosti pouze tehdy, je-li úsečka ve skutečnosti s průmětnou rovnoběžná.  Průmět rovinného obrazce je ve skutečné velikosti pouze tehdy, je-li rovina v níž leží, s průmětnou rovnoběžná. Jinak řečeno: průmět všeho, co není s průmětnou rovnoběžné, se oproti skutečnosti zkresluje. Samozřejmě ve skutečné velikosti vidíme vše, co v průmětně leží.

Veškeré příklady, které můžete řešit, jsou složeny ze základních úloh promítání, afinity a kolineace, kuželoseček a umění řešit planimetrické úlohy. Základní úlohy promítání jsou členěny do dvou skupin: - úlohy polohové (řeší rovnoběžnost přímek a rovin, průsečnici rovin a průsečík přímky s rovinou) - úlohy metrické ( řeší kolmost přímky a roviny, vzdálenost dvou bodů, otočení obecně položené roviny do roviny průmětny kolem stopy.) V některých promítáních budeme používat pouze úlohy polohové. Každé promítání má tedy buď čtyři nebo osm základních úloh, které musíme bezpodmínečně nutné znát, a to nejen v uvedených, (pěkných nebo jednoduchých polohách přímek a rovin), ale v obecných polohách, když jsou objekty pod nebo za průmětnou.

Při řešení úloh v deskriptivní geometrii se musí postupovat zcela jednoznačně takto:   Nejprve si uděláme rozbor zadání úlohy, řekneme si co je dáno a co chceme získat. Určíme si postup prostorového řešení a zaznamenáme si jej.  Protože jednotlivé kroky řešení mají svůj ekvivalent v úlohách incidence a základních úlohách promítání, zkonstruujeme krok za krokem danou úlohu.  Určíme viditelnost. Přejeme Vám hodně úspěchů při studiu.

Konec. Klepněte na pravé tlačítko myši a ukončete prezentaci.