Základní kombinatorické principy 1.1 Princip bijekce je vzájemně jednoznačné přiřazení prvků dvou množin: jedna množina pro nás může být nepřehledná a vztahy v ní dokážeme těžko postihnout, zatímco druhá množina je pro řešení problému přehledná Známe-li tedy řešení na množině přehledné, známe i řešení na druhé množině. Kombinatoricky: jestliže na první množině existuje právě m - řešení, pak na vzájemně jednoznačně přiřazené množině existuje také m - řešení. Každému prvku z množiny A je přiřazen právě jeden prvek z množiny B. Obě množiny musí být stejně početné, tj. #A = #B. Symbol #A budeme chápat jako počet prvků množiny A. V praxi to znamená, že si popis množiny můžeme zjednodušit nějakou analogií - představou na papíře

Základní kombinatorické principy 1.2 Kombinatorické pravidlo o součinu Máme vybrat k prvků: první prvek vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #A1 druhý prvek vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #A2 třetí prvek ... s počtem prvků #A3 ... poslední, k-tý prvek, vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #Ak pokud výběr každého z prvku je nezávislý na výběru ostatních prvků, existuje celkem (#A1 · #A2 · . . . · #Ak) různých možností, jak vybrat tyto prvky

Příklad na Kombinatorické pravidlo o součinu V restauraci mají na jídelním lístku uvedeno 3 polévky, 6 hlavních jídel a 2 moučníky. Kolika způsoby lze sestavit menu ze všech třech chodů? Výběr polévky je nezávislý na výběru hlavního jídla i moučníku, totéž platí o dalších chodech, proto použijeme kombinatorické pravidlo o násobení: N = 3*6*2 = 36 možností, jak sestavit menu

Základní kombinatorické principy 1.3 Kombinatorické pravidlo o součtu Předpokládejme, že máme k disjunktních množin potom sjednocení těchto množin má právě #A1 + #A2 + . . . + #Ak prvků. Disjunktní množiny mají prázdný průnik prázdný průnik ø A B Lichá čísla 1,3,5 Sudá čísla 2,4,6

Příklad 1 na Kombinatorické pravidlo o součtu V restauraci mají na jídelním lístku uvedeny tyto počty hlavních jídel: bezmasá jídla (3), ryby (2), drůbež (2), vepřové maso (5), hovězí maso (4). Kolik dní můžete chodit do této restaurace, abyste jedli každý den jiné jídlo? Řešení: Protože se jedná o disjunktní množiny, použijeme pravidlo o součtu: N = 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = 16 dní

Základní kombinatorické principy 1.4 Součet prvků obecných množin Uvažujme množinu A a množinu B, které mají neprázdný průnik. Pokud sečteme prvky každé množiny, pak společné prvky jsme sečetli dvakrát, proto je jednou musíme odečíst: # (A ∪ B) = # A + # B - # (A ∩ B) {1, 2, 3, 5, 7} + {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 2 musíme odečíst průnik 2 A B prvočísla < 10 1, 2, 3, 5, 7 Sudá čísla < 10 2, 4, 6, 8

Příklad na Součet prvků obecných množin Ve třídě je 16 studentů. Z celkového počtu mluví aktivně 10 anglicky a 8 německy. 5 studentů zvládá aktivně oba jazyky. Určete, kolik studentů mluví jen anglicky nebo jen německy Kolik studentů nemluví aktivně žádným z těchto dvou jazyků Kolik studentů mluví aktivně nějakým jazykem? 5 A N 3

Kombinatorika - příklad Když se bude státní vlajka skládat ze tří svislých pruhů v barvách červená modrá a bílá, kolika způsoby lze pruhy uspořádat? Řešení: červená může být na 1., 2. nebo 3. místě modrá po umístění červené může být na 2-3, 1-3 nebo 1-2 místě bílá barva bude na místě zbývajícím Počet možností vypočteme jako 3*2*1 = 6 Jinými slovy - aby se kombinace neopakovala, každá barva může být na jednom ze tří míst jen dvakrát: 2+2+2 = 6 č m b č b m m č b b č m b m č m b č Kdyby se jednalo o 4 různé barvy (žlutá, červená,modrá,bílá): každá barva může být na 1 ze 4 míst 6x, tj. 6+6+6+6 = 24 možností Vypočteme také jako počet umístění žluté (4) * počet umístění červené (3) * počet umístění modré (2) * 1, protože bílé barvě zbude poslední místo tj. 4*3*2*1 = 24

VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE Máme n - různých přihrádek, n - různých předmětů (počet různých předmětů je stejný jako počet různých přihrádek) Každý předmět můžeme umístit právě do jedné přihrádky a záleží na pořadí předmětu (jedná se o uspořádaný výběr) Je zřejmé, že 1. předmět můžeme umístit do jedné z n přihrádek, 2. předmět již jen do jedné z n-1 přihrádek, protože jsme již jednu vyčerpali, 3. předmět do jedné z n-2 přihrádek … Poslední n-tý předmět pak můžeme umístit jen poslední n-té přihrádky S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet způsobů umístění různých předmětů do různých přihrádek (záleží na pořadí) jako: P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . · 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE 2.2 Variace bez opakování Máme n - různých přihrádek, k - různých předmětů každý předmět chceme umístit právě do jedné přihrádky a záleží na pořadí předmětu (jedná se o uspořádaný výběr) Předpokládejme, že n > k (jinak stačí zaměnit pojem přihrádka a předmět) Je zřejmé, že 1. předmět můžeme umístit do jedné z n přihrádek, 2. předmět již jen do jedné z n-1 přihrádek, protože jsme již jednu vyčerpali, 3. předmět do jedné z n-2 přihrádek … Poslední k-tý předmět pak můžeme umístit jen do n-k+1 přihrádek, jež zbyly prázdné. S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet způsobů, jimiž lze danou úlohu vyřešit jako: Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1)

VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . * (n-n+1) To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: Jedná se o vzorec pro počet permutací z n prvků bez opakování. 2.2 Variace bez opakování Zápis: Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1) Zapíšeme pomocí faktoriálů: Jedná se o vzorec pro počet variací k-té třídy z n prvků bez opakování.

Protože se některá písmena opakují, počet možností je menší Příklad na Permutace Kolik různých slov vznikne přesmyčkou písmen ve slově POPOKATEPETL*? Řešení: Celkem písmen: 12 Pokud by byla všechna písmena rozdílná, počet různých slov bychom vypočetli jako násobek 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 Protože se některá písmena opakují, počet možností je menší tolikrát, kolik různých možností bychom z nich udělali, kdyby byla rozdílná: pro dvě stejná písmena: počet možností se zmenší 2! krát pro tři stejná písmena: počet možností se zmenší 3! krát Četnost písmen ve slově: P 3x, O 2x, K 1x, A 1x, T 2x, E 2x, L 1x Počet možných slov: = 9 979 200 * Z aztéckého popoka - dýmati, tepetl - hora. Činná sopka ve střední části Mexika. Poslední erupce v roce 1932.

Příklad na Variace bez opakování Parkoviště má 10 míst pro osobní vozy. Zaměstnanců firmy je 6. Kolika způsoby může být zaparkováno všech devět aut zaměstnanců? 1. zaměstananec si může auto zaparkovat na libovolné místo z 10, 2. zaměstnanec už vybírá jen z 9 míst, 3. z osmi, 4. ze sedmi, 5. z šesti a šestému zbývá pět míst, kam může zaparkovat svůj vůz. Obecný zápis : Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1) Výpočet: 10*9*8*7*6*5 = 151 200 Existuje 151 200 způsobů parkování 6 vozů na 10 parkovacích místech pomocí faktoriálů:

vyjádřeno pomocí mocniny: 3 5 = 243 Příklad Ve školce připravili pro děti 16 jogurtů, ale většina dětí onemocněla a zbývajících 5 dětí si mohlo vybrat z 5 jahodových, 6 meruňkových, 5 borůvkových jogurtů (3 druhy). Určete kolika způsoby může dostat každé z dětí 1 jogurt ke svačině. Řešení: Každé dítě může dostat na výběr ze 3 druhů jogurtů. n = 3 druhů … analogie s Variacemi bez opakování: přihrádka - některé druhy zbydou k = 5 dětí … analogicky předmět - všechny děti dostanou jogurt Počet možností vypočteme násobením počtu možných jogurtů pro každé z 5 dětí: 3 * 3 * 3 * 3 * 3 vyjádřeno pomocí mocniny: 3 5 = 243

VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE 2.3 Variace s opakováním Máme n - různých druhů prvků a k - různých objektů Chceme přiřadit každému objektu některý druh prvku. Můžeme přiřadit stejný druh prvku, protože jich máme dostatek (prvky se mohou opakovat). Pokud přiřazujeme objektům různé druhy prvků, záleží na pořadí. 1. objektu můžeme přiřadit jeden z n druhů prvků, 2. objektu opět jeden z n druhů prvků, 3. objektu také jeden z n druhů prvků …. Poslednímu k-tému objektu můžeme vybrat prvek stále z n druhů. S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet řešení: Vzorec pro počet variací k-té třídy z n-druhů prvků s opakováním.

Příklad na Variace s opakováním Typickou úlohou je výpočet možností, které skýtá morseova abeceda Má dva druhy znaků - tečka, čárka Písmena tvoří z 1, 2, 3 nebo 4 objektů (znaků), číslice ze 4 nebo 5 objektů (znaků) pro jednoznaková písmena - 2 možnosti: •, ̶ pro dvouznaková písmena - 4 možnosti: • ̶ , ̶ •, ••, ̶ ̶ pro tříznaková písmena - 8 možností: ̶ ̶ ̶ , ̶ ̶ •, ̶ • ̶ , • ̶ ̶ , •••, •• ̶ , • ̶ •, ̶ •• pro čtyřznaková písmena (čísla) - 16 možností: analogicky pro pětiznaková čísla - 32 možností: analogicky Počet možností vypočteme podle vzorce pro Variace s opakováním, tj. kde n = 2 (dva různé znaky) a k = 1, 2, 3, 4, 5 objektů Počet možných variací v morseově abecedě je tedy: 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

Příklad na Variace s opakováním Ve škole píší děti test. Skládá se z 5 otázek a pro každou otázku jsou uvedeny 4 odpovědi, ale jen jedna je správná. existují tedy 4 druhy odpovědí Určete kolika způsoby mohou děti náhodně vyplnit test bez ohledu na to, zda odpovídaly správně. Určete pravděpodobnost, že dítě zodpovědělo všechny otázky správně. Řešení: n = 4 druhů odpovědí (A, B, C, D) k = 5 otázek (objektů) Počet variací vypočteme násobením počtu možností pro každou z 5 otázek: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 vyjádřeno pomocí variací s opakováním: V*5(4) = 4 5 = 1024 Jen jedna varianta je úplně správná. Pravděpodobnost, že nastane je: 1/1024 = 0,00098

VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE Máme n - různých přihrádek a k - nerozlišitelných předmětů a platí, že n > k chceme přiřadit každému předmětu právě jednu přihrádku, ale nezáleží na tom, kterou přihrádku předmět obsadí Vyjdeme ze vzorce 2.2 pro variace bez opakování ale počet kombinací bude tolikrát menší, kolik variant navíc dovolovalo k - různých předmětů, tj. k! Jedná se o vzorec pro počet kombinací k-té třídy z n - prvků Kombinace (angl. COMBINATION) představují neuspořádaný výběr

Příklad na KOMBINACE Šatnářka má volných posledních 12 věšáků, ale čísla z nich má pomíchané na hromádce. Ve frontě s kabáty stojí 5 lidí. Vezme vždy náhodně číslo – nezáleží jí na tom, které. Kolika kombinacemi může umístit na volné věšáky všech pět kabátů? Záleží jen na tom, které věšáky budou obsazené a které prázdné, nezáleží na tom, kde bude viset který kabát. Řešení: Pro výpočet použijeme vzorec Po dosazení:

KOMBINAČNÍ ČÍSLO Základní vzorec: Další pravidla pro počítání s kombinačními čísly:

PRAVDĚPODOBNOST, KOMBINACE Příklad 12 Mezi 8 bezvadných výrobků se přimíchaly 3 zmetky. Náhodně byly vybrány 2 výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? Jaká je pravděpodobnost, že je právě jeden vadný? Jaká je pravděpodobnost, že je alespoň jeden vadný?

Řešení příkladu 12 pomocí kombinatoriky Vypočteme počet možností, jak vybrat 2 výrobky z 11 celkem - jedná se o kombinace 2 prvků z 11 C2(11) = 55 počet možností, že vybereme 2 bezvadné výrobky C2(8) = 28 počet možností pro 1 vadný a 1 bezvadný C1(8)*C1(3) = 24 Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? p = 28/55 = 0,509 Jaká je pravděpodobnost, že je jeden vadný? p = 24/55 = 0,436 Jaká je pravděpodobnost, že je alespoň jeden vadný? p = 1 - 0,51 = 0,491

Řešení příkladu 12 pomocí kombinatoriky - rozepsání vzorečků Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? jedná se o podíl počtu možností výběru 2 bezvadných výrobků a všech možností Jaká je pravděpodobnost, že je jeden vadný?

Řešení příkladu 12 pomocí pravděpodobnosti Vypočteme pravděpodobnost toho, že oba budou bezvadné, tj. 1. výrobek vybereme s p-ností 8/11 (8 bezvadných z celkem 11 výrobků) a 2. výrobek s p-ností 7/10 (zbylo 7 bezvadných a celkem 10 výrobků): Pravděpodobnost, že bude jeden vadný, vypočteme analogicky: První vybraný výrobek vybíráme z 11 výrobků - je bezvadný, druhý bude vadný vybraný z 10 výrobků. Nebo první bude vadný vybraný z 11 výrobků a druhý bezvadný vybraný z 10 výrobků. Obě pravděpodobnosti musíme sečíst. Pravděpodobnost, že bude alespoň jeden vadný, vypočteme

Příklad: Pravděpodobnost, kombinace a variace s opakováním Ve skříni je naházeno 5 párů střevíců. Tatínek jde potmě, aby nevzbudil děti a potřebuje si vybrat aspoň jeden pár bot. Namátkou tedy vybere 4 střevíce a doufá, že alespoň 2 půjdou do páru. Jaká je pravděpodobnost, že se mu to podaří? Jaká je pravděpodobnost, že neuspěje? K řešení použijte selský rozum. reseny_priklad_strevice.xls