Číselné obory -Zákony, uzavřenost a operace Ondřej Nebeský T4A

Druhy čísel Přirozená čísla N – slouží k vyjádření počtu osob, zvířat předmětů atd. 1,2,3,4 … Celá čísla Z – umožňují vyjádřit změny těchto počtů a jejich porovnání (přírůstek, úbytek) …, -2, -1, 0, 1, 2 …

Druhy čísel Racionální čísla Q se používají k vyjádření počtu dílů celku jako jsou zlomky, mohou být kladná i záporná 1/2 ; -0,83; 0; 8,1; -3 Reálná čísla R umožňují vyjádření výsledků měření; stejná jako racionální, navíc zahrnují i čísla iracionální ; -0,1; ; 1; sin45°

Schéma číselných oborů Reálná R -5,479 Racionální Q tg 60° -3/4 Celá Z 1 -2 0,583 Přirozená N 8 5 -8

Věty Věta o asociativnosti sčítání a násobení – sčítance při součtu a činitele při násobení můžeme libovolně sdružovat (nezáleží na pořadí závorek.) a + (b + c) = (a + b) +c Věta o komutativnosti sčítání a násobení – pořadí sčítanců při součtu a pořadí činitelů při násobení můžeme měnit a + b = b + a a * b = b * a Věta o neutrálnosti čísla 1 – při násobení jakéhokoliv čísla x číslem 1 dostáváme vždy číslo x 1 * x = x Věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání – násobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítance a(b + c) = ab + ac

Přirozená čísla Přirozená čísla dovedeme jmenovat, zapisovat číslicemi a znázorňovat na číselné ose Základní operace: sčítání a násobení Uzavřenost: při sčítání nebo násobení dvou přirozených čísel dostáváme vždy číslo přirozené Ostatní operace v oboru přirozených čísel při zachování uzavřenosti (odčítání, dělení a umocňování) můžeme definovat pomocí základních operací a € N /\ b € N Rozdíl a - b a = b+x (x€N /\ a > b) Podíl a : b a = b * x (x€N) Mocnina ab a = a1 * a2 * … ab

Celá čísla Jsou to Přirozená čísla rozšířená o nulu a záporná čísla. Uzavřenost: při sčítání, odčítání nebo násobení dvou celých čísel dostáváme vždy číslo celé Operace při uzavřenosti oboru jsou podobné jako u přirozených čísel (a, b, x € Z) Rozdíl a – b = x Podíl a = b * x Mocnina a = 1 * a1 * a2 * … ab (b € N0)

Racionální čísla Množinu racionálních čísel lze vyjádřit ve tvaru zlomku p/q, kde p je celé číslo a q je přirozené číslo a jejich společným dělitelem je pouze číslo jedna (zlomek v základním tvaru) Uzavřenost: při sčítání, odčítání, násobení nebo dělení dvou racionálních čísel dostáváme vždy číslo racionální. Výjimkou je dělení nulou. Možné tvary zápisu: Zlomek 1/3 Desetinné číslo s konečným periodickým rozvojem 0,8 Nekonečný periodický desetinný rozvoj s vyznačenou periodou 0,3

Racionální čísla - zlomky Základní početní operace se zlomky odčítání sčítání násobení dělení

Racionální čísla Perioda – nekonečná řada neustále se opakující skupiny čísel za desetinnou čárkou Značí se vodorovnou čárkou nad číslicemi V rozvoji se před periodou může vyskytovat ještě skupina číslic (tzv. předperioda) a jedná se o rozvoj neryze periodický Každé desetinné číslo můžeme zapsat také jako desetinný zlomek, v jehož jmenovateli je přirozená mocnina deseti (tj. 10n, n € N)

Reálná čísla Skládá se z množiny čísel racionálních a iracionálních Iracionální čísla lze zapsat jenom takovým desetinným rozvojem který je nekonečný a neperiodický Patří mezi ně některé odmocniny (2,3,5), Ludolfovo číslo a hodnoty některých goniometrických funkcí např. sin 45°, cos 30°, tg 60° atd. Pro iracionální čísla není zaveden žádný obor protože výsledky operací s iracionálními čísly nemusí být iracionální číslo. Např. pro iracionální čísla \/2 a -\/2 je součet i součin racionální. Množina všech iracionálních čísel není uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení.

Reálná čísla Pro každá tři reálná čísla a, b, c platí: Jestliže a > b a zároveň b > c, pak a > c. Jestliže a > b a zároveň c > 0, pak ac > bc. Jestliže a > b a c je libovolné reálné číslo, pak a + c > b + c Zaokrouhlování: V praxi se iracionální čísla nahrazují desetinnými čísly, která jsou tvořena částí desetinného rozvoje zaokrouhleného na zvolený počet desetinných míst, jenž je určen požadovanou přesností výsledku. Výsledek nebude nikdy absolutně přesný. Např. = 3,141 592 653 589 79 … se běžně zaokrouhluje na 3,142 nebo 3,14