V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU GONIOMETRICKÉ FUNKCE V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU Kristýna Zemková, Václav Zemek Gymnázium, Prachatice, Zlatá stezka 137 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Pravoúhlý trojúhelník Co víš o pravoúhlém trojúhelníku? Pythagorova věta: Strany pravoúhlého trojúhelníku: Thaletova věta: Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé.

Sinus ostrého úhlu Pomocí funkce sinus se naučíme vypočítat jeden z ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku. Nejprve se však musíme domluvit na pojmenování odvěsen trojúhelníku:

Dokážeš určit protilehlou a přilehlou odvěsnu úhlu ?

Dokážeš určit sin?

Hodnota sinu úhlu nezáleží na velikosti trojúhelníku, ale na poměru stran.

K čemu využijeme sinus úhlu? Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C; a = 5 cm, c = 10 cm. Vypočítej úhel . Řešení: Nejprve vypočítáme sin. POZOR, to ještě není velikost úhlu! Kalkulačkou (nebo tabulkami) určíme úhel.

Příklad 1: Trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C; c = 5 cm, b = 3 cm. Kolik měří úhel ?

První způsob: Pomocí Pythagorovy věty dopočítáme stranu a. Vypočítáme sin. Pomocí kalkulačky nebo tabulek určíme úhel . Velikost úhlu  je tedy přibližně 53°8‘.

Druhý způsob: Vypočítáme pomocí funkce sin velikost úhlu . Využijeme vlastnost úhlů v trojúhelníku – jejich součet je vždy 180°. Trojúhelník je pravoúhlý, tedy jeden úhel je velký 90°. Velikost úhlu  je tedy přibližně 53°8‘.

Příklad 2: Zjisti bez tabulek či kalkulačky, jen s pomocí pravítka a úhloměru, velikost úhlu , jestliže sin=0,65. Řešení: Nejprve si musíme uvědomit, že , kde 10 je přepona trojúhelníku a 6,5 protilehlá odvěsna daného úhlu.

Tento trojúhelník sestrojíme. Pomůže nám Thaletova věta. Úhel změříme. Výsledek si ověříme v tabulkách nebo na kalkulačce.

Kosinus ostrého úhlu

Příklad 1: Zapiš sinus a kosinus úhlů  a  pomocí délek stran trojúhelníku DEF.

Příklad 2: Narýsuj vhodný trojúhelník s úhlem  = 35°, změř potřebné strany a urči s přesností na dvě desetinná místa sin a cos. Řešení: Narýsujeme pravoúhlý trojúhelník s přeponou dlouhou 10 cm. Poté změříme délku odvěsen.

Tangens a kotangens ostrého úhlu

Příklad 1: Bez pomoci tabulek a kalkulačky, jen rýsováním a měřením, urči přibližnou velikost ostrého úhlu , jestliže platí . Řešení:

Příklad 2: Řešení:

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi ostrého úhlu Podobně:

Příklad 1: Vypočítej sin, tg a cotg, je-li cos = 0,6.

Tabulka hodnot goniometrických funkcí

Literatura: [1] Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií - Podobnost a funkce úhlu. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-206-6. s. 67-114 [2] Odvárko, O.: Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Dotisk 3. vydání. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80-7196-203-1. s. 20-24