Referát pro Seminář z aktuárských věd Tereza Jarolímková ( ) Cena kapitálu ve výpočtu hodnoty důchodového pojištění (E. Pitacco, A. Olivieri )

Obsah  Úvod  Model přežití Longevity Risk  Alokovaný kapitál  Výpočet hodnoty portfolia důchodového poj. Tradiční přístup Tržní přístup (market - consistent) Zohlednění LR „Ekvivalentní RDR“  Numerické příklady  Poznámky a závěr

Úvod Výpočet hodnoty pojištění (VBI)  Klasický př í stup - Založený na tradiční Embedded Value metodice  Problematick é a netransparentní je stanoven í RDR  Tržní přístup - Zohledňuje stejn á rizika, kter á zohledňuje trh (systematick á a nediverzifikovateln á )  Rizikově-neutrální výpočet založený na diskontování bezrizikovou úrokovou mírou  Je možno využít pro stanovení „ekvivalentní RDR“ Longevity Risk (Riziko délky života)  Riziko systematick é odchylky od nejlepšího odhadu předpokladu (Best Estimate) o ú mrtnosti  Mělo by být zohledněno při alokaci kapit á lu stejně jako při oceněn í produktu, zaji š těn í atd.

Model přežití (1)  Předpokládá se portfolio složené z ihned splatných důchodových pojištění, homogenní ve smyslu pojistných částek a ve smyslu počátku pojištění  Vstupní věk všech pojištěných je  Pro náhodnou dobu života příjemce renty se předpokládá Weibullovo rozdělení s hustotou kde jsou neznámé parametry  Předpokládá se diskrétní rozdělení parametrů, které je dáno tabulkou

Model přežití (2)  Koncentrace úmrtí kolem Lexisova bodu  Lexisův bod se posouvá do vyšších věků

Model přežití (2)  Lexisův bod v závislosti na parametrech  Rozptyl náhodné doby života v závislosti na parametrech

Solventnost a kapitál  Ke každému portfoliu je třeba alokovat kapitál, který je nutné držet, aby byla pojišťovna schopna dostát svým závazkům s dostatečně vysokou pravděpodobností  Takový kapitál stanovený na základě interního modelu zohledňující příslušná rizika je označen  Pro zajištění solventnosti jsou potřeba celková aktiva, jejichž výše je v čase t rovna součtu: + matematická rezerva t  Požadavky na solventnost mohou být stanoveny i na základě jiných požadavků, předpokládá se, že (v příkladech se uvažuje )

Zohlednění LR – tradiční přístup (1)  Neuvažuje se investiční riziko, výnos z investic je dán bezrizikovou úrokovou mírou (konstantní), zohledněno je pouze LR  Tradiční přístup: je zisk dosažený v roce h, očekávaný výnos z investic, je diskontní faktor založený na posloupnosti rizikových diskontních měr, je alokovaný kapitál  Náhodný finanční tok z pojišťovny, je dán posloupností kde a je počet příjemců renty, kteří jsou ve věku naživu

Zohlednění LR – tradiční přístup (2)  Na základě tradičního přístupu a uvedených předpokladů je očekávaný zisk (při BE scénáři)  Hodnota pojištění v čase 0 je potom  Cílový kapitál je stanoven na základě stochastického modelu s následující strukturou: Náhodný vývoj hodnoty aktiv Má platit, z této rovnice se pro akceptovatelnou hodnotu určí výše

Zohlednění LR – tržní přístup (1)  Předpokládá se, že pojistitel přenáší LR na zajistitele prostřednictvím nástroje podobného swapu: Zajistné v čase 0 je Zajistitel platí ročně cedentovi Cedent platí zajistiteli Finanční tok cedenta je tedy nenáhodný:  Pro diskontování je proto použita bezriziková úroková míra  Tržní hodnota poj. je neboli

Zohlednění LR – tržní přístup (2)  Dále se předpokládá, že zajistitel vyrovná svoji pozici přenesením rizika na trh emisí dluhopisu: Jistina je 0 Cena dluhopisu Roční náhodný kupón je Finanční tok zajistitele je tedy také nenáhodný:

Zohlednění LR – tržní přístup (3)  Zajistné a cena dluhopisu může být odvozena z podmínek realizovatelnosti na trhu: 1) neboli 2)  Dolní a horní hranice pro zajistné je tedy  Přičemž musí platit

Zohlednění LR – tržní přístup (4)  Dík absenci trhu s LR je zavedení rizikově-neutrální pravděpodobnostní míry problematické  Pro hodnotu dluhopisu se proto předpokládá jen hrubý základní model kde je směrodatná odchylka a tržní cena rizika

Ekvivalentní riziková diskontní míra  Pro dané zajistné je tedy hodnota pojištění v čase 0 dána rovnicí  Předpokládá se, že tradiční přístup, kde vede díky vhodné volbě rizikové diskontní míry ke stejné hodnotě pojištění  Tato rovnost umožní stanovit „ekvivalentní rizikovou diskontní míru“. Taková diskontní míra vyjadřuje rizikovost portfolia způsobenou nejistotou v budoucím vývoji úmrtnosti

Numerické příklady  Uvažuje se 1000 pojištěných, se vstupním věkem 65 let  Roční bezriziková úroková míra  Model úmrtnosti,  2 varianty: a) kapitál dle Solvency II ( T=1, ) b) kapitál dle interního modelu (T=5, )  Z podmínky pro zajistné RP vyplývá  Z podmínky pro cenu dluhopisu BL plyne  V tab. jsou uvedeny hodnoty VIB pro hodnoty RP konzistentní s max. a zvolenou cenou rizika

Závěrečné poznámky  Autoři uvádějí nevýhody metody, které ještě bude třeba dopracovat: -Výsledky závisí na předpokládané hypotéze (o budoucím vývoji úmrtnosti, tedy na volbě parametrů Weibullova rozdělení) -Důležitým předpokladem je také tržní cena rizika, pro kterou je odvozena pouze horní hranice  Každopádně jde o možnou metodu, jak zahrnout tržní cenu rizika dlouhověkosti (LR) do rámce Embedded Value a jak dát tradiční (EV) přístup do souvislosti s tržním přístupem

Literatura • 1B.Solvency measurements and asset-liability managementhttp://papers.ica2006.com •Lin Y., Cox S.H.(2005), Securitization of mortality risk in life annuities, The Journal of Risk and Insurance, 72 (2): •Brender A (2002), The use of internal models for determining liabilities and capital requirements, North American Actuarial Journal, 6 (2): •Olivieri A., Pitacco E. (2003), Solvency requirements for pension annuities, Journal of Pension Economics & Finance, 2 (2): •Pitacco E. (2004), Survival models in dynamics context: a survey, Insurance: Mathematics & Economics, 35 (2):