Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF Mechanika tekutin Přednášky: úterý 7:40 – 9:10 Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Mechanika tekutin - přednášky Úvod, pojmy, definice Statika tekutin Dynamika tekutin Navierovy-Stokesovy rovnice Bernoulliova rovnice Turbulence Stlačitelné proudění a akustika Experimentální metody Matematická simulace proudění Mezní vrstvy Obtékání těles Proudění kanály a potrubím Proudové stroje 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Mechanika tekutin - přednášky Úvod, pojmy, definice Statika tekutin Dynamika tekutin Navierovy-Stokesovy rovnice Bernoulliova rovnice Turbulence Stlačitelné proudění a akustika Experimentální metody Matematická simulace proudění Mezní vrstvy Obtékání těles Proudění kanály a potrubím Proudové stroje 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Navierovy-Stokesovy rovnice Rovnice kontinuity Hybnostní rovnice Vlastnosti N-S rovnic, vlastnosti skutečných proudů Zjednodušení, inženýrské přístupy – nestlačitelné, nevazké (Eulerovy r.), extrémně vazké (Stokesovy r.), 2D,… 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Bilanční rovnice v mechanice tekutin Zachování hmoty m Zachování hybnosti h = m . V Zachování energie E Systém je otevřený Za jednotku času Systém akumulace me, he, Ee vstup výstup min, hin, Ein mout, hout, Eout 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Rovnice kontinuity Zachování hmoty: 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Rovnice kontinuity 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Rovnice kontinuity Nestlačitelná tekutina Vektorové pole rychlostí je pro nestlačitelnou tekutinu NEZŘÍDLOVÉ, SOLENOIDÁLNÍ 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Bilance hybnosti Newtonův zákon síly: Hybnost (momentum) 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Bilance hybnosti Směr x: Cauchy 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Bilance hybnosti 3 složky x: y: z: Tenzor (matice) rychlosti deformace: Symetrický: 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Navierovy-Stokesovy rovnice Laplaceův operátor, Laplace: 3 + 1 = 4 3 + 1 = 4 Neznámé: V(x,t), p(x,t) Rovnice: N-S, kontinuita OK 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Vlastnosti N-S rovnic PDE, 1.řád v čase, 2.řád v prostoru Nelineární Konvektivní zrychlení Tlakový člen Lokální zrychlení PDE, 1.řád v čase, 2.řád v prostoru Nelineární Neintegrovatelné Řídící parametr: Reynoldsovo číslo Setrvačný člen Vazký člen Vazký člen Vnější zrychlení 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Počáteční a okrajové podmínky Počáteční podmínky: Okrajové podmínky: Stěna : Vstup IN : Výstup OUT : Ulpívání na stěně (no slip) 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Ulpívání na stěně 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Ulpívání na stěně 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

N-S rovnice $1 000 000 Claude Louis Marie Henri Navier, 1820 Sir George Gabriel Stokes, 1842 Millennium Prize Problems Clay Mathematics Institute, Cambridge, Massachusetts 7 matematických problémů pro 3. tisíciletí, 24.5.2000, Paříž Č.6: existence a hladkost řešení N-S ric $1 000 000 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Rovnice energie První zákon termodynamiky Ideální (nevazký) plyn: Přestup tepla Q Mechanická práce W Celková energie (změna) ΔE = Q + W Ideální (nevazký) plyn: Disipační fce Součinitel tepelné vodivosti Součinitel tepelné difuzivity, teplotní vodivosti 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Zjednodušení N-S rovnic Eulerova rovnice Nevazká tekutina E.r. hydrostatiky Statika Stokesova rovnice Pomalý pohyb (creep) o.p.: Vw,normála = 0 Vw,tečna ≠ 0 !!! Není splněna podmínka ulpívání na stěně !!! Lineární !!! 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Eulerovy rovnice Zanedbána vazkost Vhodné pro stlačitelné proudy – rázové vlny OK Nutno doplnit: Rovnice energie Stavová rovnice 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Stokesova rovnice Velmi pomalé tečení – „creep“ – malé Reynoldsovo číslo Malé U: ledovce Malé L: mikroobjekty Velké ν: med Řešení pomocí proudové funkce (potenciální proudění) Řešení ustálené – dané o.p. 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Stokesovo proudění 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

„Normální“ proudění 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Děkuji za pozornost 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Rovnice kontinuity 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

N-S rovnice 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

N-S rovnice 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Rovnice energie 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13

Tenzor napětí 17.10.2019 Mechanika tekutin 4/13