KMT/MCH2 – Mechanika 2 pro učitele Konzultace, 16. 2. 2018 Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah přednášky Zákon všeobecné gravitace Intenzita a potenciál gravitačního pole Pohyby v radiálním gravitačním poli, Keplerovy zákony Gravitační pole Země, tíhová síla Inerciální a neinerciální vztažné soustavy Galileův princip relativity Setrvačné síly

Zákon všeobecné gravitace Newton (1687): Každá dvě tělesa na sebe působí gravitační silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotnosti a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. Gravitační síla je vždy přitažlivá, působí ve směru spojnice těles (jde o tzv. centrální sílu). Matematicky: Fg = G*m1*m2/r2, kde G je tzv. gravitační konstanta – G = 6,67*10-11 m3*kg-1*s-2 Odvození rozměru G: kg*m*s-2 = x (neznámý rozměr)*kg*kg/m2 → x = m3*kg-1*s-2 Poznámka 1: Uvedený tvar platí jen v případě, že tělesa můžeme pokládat za hmotné body nebo jsou tato tělesa přibližně ve tvaru koule! Poznámka 2: Obecná teorie relativity přináší nový pohled na gravitaci, vysvětluje jí jako důsledek zakřivení časoprostoru vyvolaného přítomností hmotných těles. Odstraňuje tím některé slabiny klasické mechaniky

Zákon všeobecné gravitace 2 Vektorové vyjádření zákona: Fg12 = - G*m1*m2*r/r3, kde r je vektor směřující od tělesa 1 k tělesu 2 a Fg12 gravitační síla, kterou působí 1. těleso na 2. Podle zákona akce a reakce pak tedy 2. těleso působí na první stejně velkou a opačně orientovanou gravitační silou Fg21. Vektorově platí: Fg21 = - Fg12 Gravitační síla je silou konzervativní, což nám umožní zavést pojem potenciál gravitačního pole. Zároveň pro popis gravitačního pole používáme pojmy jako siločáry a ekvipotenciální plochy (viz minulá přednáška) m1 Fg21 r Fg12 Fg12 = Fg21 m2 Siločáry a ekvipotenciály radiálního gravitačního pole

Určování gravitační konstanty Gravitační konstantu G (pozor, neplést s tíhovým zrychlením g) je možné určit jedině experimentem Určování je v porovnání s jinými univerzálními konstantami (rychlost světla, Planckova konstanta…) poměrně náročné a nepřesné (nemá velký smysl uvádět hodnotu G na více než dvě desetinná místa) Základní metody určování G: Odklon od svislice v blízkosti hory (1740 – Chimboraso, značné chyby) Měření v hlubinném dole (určeno g z periody kyvadla na povrchu a v dole, z toho výpočet G – nepřesnost v odhadnutí hmotnosti povrchové vrstvy Země) Cavendishova metoda (torzní váhy) Jollyho metoda (z výchylky pákových vah)

Intenzita gravitačního pole Při popisu gravitačního pole jednoho tělesa je nutné zajistit, aby tento popis nezávisel na hmotnosti tělesa druhého, který do něj vložíme. Popis pomocí síly záleží na hmotnostech obou těles, tedy není vhodný… Sílu proto vydělíme hmotností druhého (referenčního) tělesa, tím získáme veličinu závislou pouze na hmotnosti 1. tělesa – tzv. intenzitu gravitačního pole: K = Fg/m2 = (G*m1*m2/r2)/m2 = G*m1/r2 Vektorově (intenzita je vektorová veličina!) poté platí: K = -G*m1*r/r3 Intenzita gravitačního pole je do velikosti i do směru rovna gravitační síle, kterou pole působí na těleso o hmotnosti 1 kg a udává v souladu s 2. NZ rovněž zrychlení referenčního tělesa  v SŠ učebnicích pojem gravitační zrychlení Fyzikální rozměr jednotky intenzity: K = Fg/m2 → jednotka = N/kg = kg*m*s-2/kg = m*s-2 (logicky stejná jednotka jako u zrychlení !)

Intenzita gravitačního pole 2 Pro gravitační pole více těles platí princip superpozice: Intenzita celkového gravitačního pole v daném bodě je dána vektorovým součtem intenzit od jednotlivých těles. Příklad: Stanovte intenzitu gravitačního pole 3 těles o hmotnostech m1 = 2 kg, m2 = 2 kg a m3 = 7 kg umístěných ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně r = 1 m ve středu tohoto trojúhelníka (bod S) Řešení: Postupně určíme velikost intenzit K1, K2 a K3 (od těles s hmotnostmi m1, m2 a m3) v bodě S. Tyto intenzity poté vektorově sečteme (využijeme vlastností rovnostr. trojúhelníka) m1 K1 S Ks K2 K3 m2 m3 Ks = K1 + K2 + K3 K1 = G*m1/a2, kde a = √3/3 * r (a je vzdálenost středu od vrcholu v daném trojúhelníku !) K2 a K3 se určí analogicky

Potenciál gravitačního pole Díky konzervativnosti gravitačních sil můžeme určit v daném bodě potenciální energii jako práci vykonanou gravitační silou při přenesení z nulové hladiny (tj. u radiálního gravitačního pole z nekonečna) Problém: Práce bude záviset na hmotnosti přenášeného tělesa Řešení problému: Stejně jako u intenzity vydělíme hmotností a získáme skalární veličinu potenciál gravitačního pole (značíme φ), která je závislá pouze na poloze a na hmotnosti těles, jenž pole vyvolávají! φ = Epot/m, kde m je hmotnost referenčního tělesa (tj. toho, které do gravitačního pole vkládáme) a Epot je jeho potenciální energie v daném bodě. Body se stejným potenciálem se jmenují ekvipotenciální plochy, vektor intenzity gravitačního pole je vždy kolmý na tyto plochy!

Potenciál gravitačního pole 2 Pro gravitační pole vyvolané jedním tělesem o hmotnost M lze určit potenciál φ ve vzdálenosti r od tohoto tělesa vztahem φ = - G*M/r (minus je dáno dohodou, k odvození vzorce je třeba integrace). Potenciál je tedy nepřímo úměrný vzdálenosti od budícího tělesa, v nekonečnu se dostáváme na nulu (nulová hladina). Ekvipotenciální plochy jsou koule se středem ve středu daného tělesa. Pro případ gravitačního pole tvořeného více tělesy uplatníme princip superpozice: Určíme jednotlivé potenciály φ1, φ2, φ3 apod, celkový potenciál určíme jako skalární součet jednotlivých dílčích potenciálů: φ = φ1 + φ2 + φ3 +… Ekvipotenciální plochy mají složitější tvar M φ = konst. M3 φ = konst. M1 M2

Pohyby v gravitačním poli jednoho tělesa Uvažujme situaci, kdy jedno těleso svojí hmotností natolik převyšuje svojí hmotností ostatní tělesa, že ta ostatní lze v prvním přiblížení zanedbat a je možné uvažovat gravitační pole pouze tohoto jednoho tělesa (typický případ: Sluneční soustava – pohyby planet v gravitačním poli Slunce) V této situaci se tělesa pohybují zásadně po kuželosečkách (elipsa, kružnice-speciální případ elipsy, parabola, hyperbola, ale i přímka). Konkrétní křivka závisí na celkové mechanické energii pohybujícího se tělesa (ta zůstává díky konzervativnosti pole stálá!)

Pohyby v gravitačním poli jednoho tělesa 2 E < 0 → Ekin + Epot < 0, tedy ½*m*v2 – G*M*m/r < 0, jde o pohyb po elipse (čím blíže je součet k nule, tím více je protáhlá) – příklad: pohyb planet Sluneční soustavy E = 0 → Ekin + Epot = 0, tedy ½*m*v2 – G*M*m/r = 0, jde o pohyb po parabole (hraniční situace – příklad: pohyb některých komet) E > 0 → Ekin + Epot > 0, tedy ½*m*v2 – G*M*m/r > 0, jde o pohyb po hyperbole – příklad: opět některé komety Pokud je v = 0 (bez ohledu na potenciální energii), padá uvažované těleso po části přímky na těleso, které pole vyvolává) 4) v = 0 1) E < 0 3) E > 0 2) E = 0 Asymptota hyperboly

Keplerovy zákony Kepler (1609) odpozoroval, že pro pohyb planet kolem Slunce platí 3 základní zákony. Tyto zákony je možné dokázat i náročnějším teoretickým výpočtem 1.Keplerův zákon – Planety se pohybují po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce 2. Keplerův zákon – Plošná rychlost (tj. plocha opsaná průvodičem za jednotku času) je pro danou planetu konstantní (dá se ukázat, že jde o důsledek zákona zachování momentu hybnosti) 3. Keplerův zákon – 2. mocniny oběžných dob planet jsou ve stejném poměru jako 3. mocniny jejich hlavních poloos (matematicky: T12/T22 = a13/a23 planeta s dobou oběhu T2 planeta s dobou oběhu T1 a1 a2 Slunce – společné ohnisko

Keplerovy zákony - důsldky Bod, v němž se planeta dostane nejblíže ke Slunci (v případě Země vzdálenost rp = 147,1 mil.km) se nazývá perihélium (přísluní). Podle 2. KZ v něm má Země největší rychlost Bod, v němž se planeta dostane nejdále od Slunce (v případě Země vzdálenost ra = 152,1 mil.km) se nazývá afélium (odsluní). Podle 2. KZ v něm má Země nejmenší rychlost Přísluním prochází Země v době, kdy je u nás zima → zima je u nás kratší než léto! (na jižní polokouli opačně) afélium – nejnižší rychlost perihélium – nejvyšší rychlost rp ra Slunce – ohnisko

Kosmické rychlosti Vrhneme těleso rychlostí v0 z bodu s malou výškou h nad povrchem Země. Jak se bude pohybovat? A) v0 = 0  volný pád na Zem B) v0 < vk  pád na Zem po parabole (vodorovný vrh) C) v0 = vk  pohyb po kružnici, vk = √G*M/R = 7,9 m/s D) vp < v0 < vk  pohyb po elipse E) v0 = vp = √2G*M/R = 11,3 m/s  pohyb po parabole, únik z grav. pole Země F) v0 > vp  pohyb po hyperbole, otázka úniku ze slun. soustavy vk - 1. kosmická rychlost (kruhová rychlost) – vp - 2. kosmická rychlost (parabolická rychlost) vp = √2* vk

Gravitační pole Země Planeta Země má přibližně tvar koule (neplatí přesně!), její hmotnost je mZ = 6*1024 kg, její poloměr poté RZ = 6378 km. Intenzita gravitačního pole Země ve výšce h nad povrchem je K = G*mZ/(RZ+h)2, pro h = 0 (povrch Země) máme hodnotu KZ = G*mZ/RZ2 = 9,83 m*s-2 Potenciál gravitačního pole Země je ve výšce h nad povrchem je dán vztahem φ = - G*mZ/(RZ+h). Je vhodné uvažovat rozdíl potenciálů ve výšce h nad povrchem a na povrchu, tj. φ – φZ = - G*mZ/(RZ+h) + G*mZ/RZ. Pro malé výšky h pro tento rozdíl přibližně platí φ – φZ = KZ*h. Při volbě nulové hladiny na povrchu pak pro potenciální energii tělesa o hmotnosti m ve výšce h nad povrchem máme. Epot = m* (φ – φZ) = m*KZ*h. To připomíná klasické m*g*h. Ale proč je místo g psáno KZ… ???

Tíhové pole Země Protože naše Země se otáčí, tudíž na těleso o hmotnosti m na jejím povrchu působí odstředivá síla o velikosti Fo = m*ω2*r, kde r je vzdálenost od osy rotace (na pólech 0, na rovníku RZ) Vektorovým součtem gravitační síly Země Fg a odstředivé síly Fo získáváme tíhovou sílu FG, kterou zároveň vyjadřujeme vztahem FG = m*g, kde g je tzv. tíhové zrychlení závisející na zeměpisné šířce Na pólech je g = KZ ≈ 9,83 m*s-2 (odstředivá síla nehraje roli). Naopak na rovníku je g ≈ 9,78 m*s-2. V našich zeměpisných šířkách je g ≈ 9,81 m*s-2. Ve vztahu pro potenciální energii tíhového pole v malých výškách h musíme poté brát místo KZ hodnotu g, čímž máme klasické Epot = m*g*h osa rotace Země Fo Fg FG = Fg + Fo  G = Kz + a0

Homogenní pole, tíha, beztížný stav Homogenní pole = intenzita (zrychlení) všude stejná co do velikosti i do směru. V malých rozměrech je toto dostatečně přesně splněno na povrchu Země  pohyby na povrchu Země chápeme jako pohyby v homogenním tíhovém poli (tzv. vrhy, viz dříve) Pokud chceme být přesní, je třena rozlišovat mezi tíhovou silou a tíhou tělesa. Př. Na objekt padající volným pádem působí tíhová síla, ale tíha je nulová (těleso je v beztížném stavu)

Tíhové pole Země - příklad Příklad: Určete, jaká by musela být perioda rotace Země, aby na rovníku úplně zanikla zemská přitažlivost? Jaká by musela být perioda rotace pro zánik přitažlivosti na pólech? Řešení: Velikost odstředivé síly by na rovníku musela přinejmenším vyrovnat sílu gravitační od Země (směry obou sil jsou opačné). Muselo by tedy platit Fg = Fo → m*KZ = m*ω2*RZ → KZ =(2*π/T)2*RZ → T = 2*π*√RZ/KZ = 2*3,14*√6378000/9,83 = 5063 s. Perioda rotace Země (doba trvání dne) by tedy musela klesnout na 5063 s. Na pólech je odstředivá síla nulová (jsou na ose otáčení), tudíž přitažlivost nezanikne nikdy osa rotace Země Fg Fo FG = 0 → Fg = - Fo

Inerciální a neinerciální vztažné soustavy Podle 2. NPZ souvisí zrychlení bezprostředně se silou (platí F = m*a). Pokud se tudíž nějaká soustava pohybuje zrychleně, automaticky v ní působí síla, která je vyvolána pouze tímto zrychlením (nikoliv tedy přímým silovým působením jiného tělesa či fyzikálního pole, ale pouze vlastností soustavy!!) Takovým silám vyvolaným vlastností soustavy říkáme setrvačné (zdánlivé) síly a soustavám, v nichž tyto setrvačné síly působí, poté soustavy neinerciální. Naopak soustavy, u nichž se setrvačné síly neobjevují (protože se nepohybují zrychleně), poté říkáme soustavy inerciální. Pouze v těchto soustavách sil platí (bez toho, abz vstoupily do hry setrvačné síly) Newtonovy zákony!! Vypadá to celkem jednoduše, ale…

Inerciální a neinerciální vztažné soustavy 2 Zádrhel je v tom, že pohyb je vždy relativní a pokud mluvíme o zrychleném pohybu nějaké soustavy, musíme říct, vůči jaké jiné soustavě tento pohyb bereme!! Třeba soustava spojená s automobilem jedoucím rovnoměrně po rovné silnici je vůči soustavě spojené se Zemí inerciální (žádné zrychlení), ale vůči soustavě spojené se Sluncem je již neinerciální (protože vůči ní se pohybuje přibližně po kružnici → objevuje se normálové zrychlení). Závěr: Žádná 100 % inerciální soustava neexistuje (protože to byl musel existovat absolutní pohyb a ten není). Pro určité konkrétní aplikace je však možné určitou významnou soustavu (jednoznačně nejčastěji soustavu spojenou se Zemí) pokládat za inerciální a (ne)inercialitu ostatních soustav posuzovat vůči ní!

Inerciální a neinerciální vztažné soustavy 3 Co tedy je a co není inerciální soustava?? Vůči soustavě spojené se Zemí je inerciální třeba: soustava spojená s touto učebnou (je v klidu), soustava spojená s rovnoměrně jedoucím autem (je v rovnoměrném přímočarém pohybu) či soustava spojená s rovnoměrně letícím letadlem Neinerciální je naopak vůči této soustavě soustava spojená se zrychlujícím autem, soustava spojená s rozjíždějícím se výtahem či soustava spojená s otáčejícím se řetízkovým kolotočem Při některých úvahách však musíme i soustavu spojenou se Zemí díky rotaci Země pokládat za neinerciální (např. zdůvodnění tzv. Coriolisovy síly –viz dále)

Galileův princip relativity Všechny inerciální soustavy jsou rovnocenné, zákony mechaniky v nich mají stejný tvar. Důsledek: Žádným mechanickým pokusem nelze rozlišit, zda je vagon v klidu či se pohybuje rovnoměrně přímočaře, všechny experimenty budou vycházet naprosto stejně! Galileův princip relativity (a s ním související Galileiho transformace) připouští neomezený růst rychlosti, jsou tedy ve sporu s teorií relativity → nutno nahradit Einsteinovým principem relativity (jemu odpovídají tzv. Lorentzovy transformace), jenž je jedním ze dvou základních principů speciální teorie relativity (druhým je tvrzení, že rychlost světla je ve vakuu ve všech soustavách stejná…)

? Gal. princip - cvičení a) nikdy b) 0,05 s c) 0,1 s d) 0,2 s Střelec vypálí v supervlaku jedoucím stálou rychlostí 300 m/s na cíl nacházející se také ve vlaku a vzdálený 30 m z pistole mající úsťovou rychlost také 300 m/s. Za jak dlouho po výstřelu cíl zasáhne? a) nikdy b) 0,05 s c) 0,1 s d) 0,2 s ? ŘEŠENÍ: c) je správně, díky stálé rychlosti jde o inerciální soustavu, platí Galileův princip relativity, tudíž je výsledek stejný, jako kdyby byl vlak v klidu.

Setrvačné síly V neinerciálních soustavách existují zdánlivé setrvačné síly, které jsou dány pouze vlastností soustavy, nikoliv přímým silovým působením. To však nemění nic na tom, že tyto síly mohou mít na člověka zásadní vliv a je třeba s nimi počítat. Rozlišujeme setrvačné síly v přímočaře zrychleně se pohybujících soustavách a v rotujících soustavách. a) Setrvačná síla - přímočarý zrychlený pohyb Působí vždy proti směru vektoru zrychlení, její velikost je dána vztahem F = m*a (2.NPZ, a je zrychlení dané neinerciální soustavy vůči uvažované soustavě inerciální). Tato síla způsobuje, že při brzdění auta se pohybujeme směrem dopředu, při rozjíždění naopak směrem dozadu!

Setrvačné síly 2 Příklad – nahoru se rozjíždějící výtah Na těleso působí setrvačná síla v opačném směru, než je zrychlení výtahu. Výsledná síla: F = FG + FS = m*a + m*g Pokud si v takovém rozjíždějícím se výtahu stoupneme na váhu, ukáže nám vyšší hodnotu (protože měří sílu, kterou na ni tlačíme a ta se díky setrvačné síle zvětšila…)

Setrvačné síly 3 b) Setrvačné síly - otáčející se vztažné soustavy V otáčejících se vztažných soustavách se objevují hned tři další setrvačné síly: Setrvačná odstředivá síla Coriolisova síla Eulerova síla Lze odvodit, viz http://physics.mff.cuni.cz/kfpp/skripta/kurz_fyziky_pro_DS/display.php/mechanika/2_4 Ad i) Z minulého semestru víme, že při pohybu po kružnici máme normálové zrychlení an = v2/r = ω2*r. Jemu odpovídá v souladu s 2. NPZ setravčná odstředivá síla, jejíž velikost je Fo = m*an = m*v2/r = m*ω2*r a směr od osy otáčení (nekoná práci, je kolmá na rychlost!)

Odstředivá síla x dostředivá síla Musíme rozlišovat: dostředivá síla (v inerc. soustavách, dána např. vektor. součtem síly tíhové a tahové síly vlákna) odstředivá síla (také v iner. soustavách, reakce k dostředivé) odstředivá setrvačná síla (v neinerc. soustavách, zdánlivá síla) Podrobněji na https://cs.wikipedia.org/wiki/Odst%C5%99ediv%C3%A1_s%C3%ADla Úkol: Co je odstředivou silou u daného obrázku ??

Setrvačné síly 4 Tato odstředivá setrvačná síla působí vždy směrem od osy otáčení, uplatňuje se například při průjezdu auta zatáčkou či při otáčení se na centrifuze, kdy kompenzuje tíhovou sílu. Příklad: Jakou minimální úhlovou rychlostí se musí otáčet centrifuga o poloměru r = 10 m, aby z ní cestující v nejvyšším bodě trajektorie nevypadli? Řešení: Setrvačná odstředivá síla Fo musí být alespoň stejně velká jako sílová tíhová FG (jejich směr je opačný). Platí: Fo=FG → m*ω2*r = m*g → ω2=g/r → ω =√g/r = √10/10 = 1 rad*s-1. Frekvence rotace musí být tedy alespoň f = ω/2π = 1/2π Hz, perioda poté T= 1/f = 2π s = 6,28 s. Fo FG r Fo ≥ FG

Setrvačné síly 5 ii) Coriolisova síla (nekoná práci, je kolmá na rychlost!) F = 2*m*[v × ω], pro velikost F = 2*m*v*ω*sin φ, kde φ je úhel mezi ω a v. Uplatňuje se tedy v otáčejících se systémech u těles pohybujících se tak, že úhel mezi vektorem jejich rychlosti a vektorem úhlové rychlosti rotace soustavy je nenulový Díky vertikální složce Coriolisovy síly jsou tělesa pohybující se na východ odchylovány směrem nahoru, směrem na západ odchylovány směrem dolů (velikost síly je však poměrně malá) ω v φ

Setrvačné síly 6 Důsledky Coriolisovy síly: Význam pro rychlé pohyby hmotných těles (balistické rakety, letadla) nebo pro dlouho trvající pohyby (oceánské vzdušné proudy, pasáty – význam v meteorologii). Síla způsobuje výraznější vymílání pravých břehů řek tekoucích na severní polokouli z jihu na sever (sibiřské veletoky Ob, Jenisej, Lena), na jižní polokouli obráceně! iii) Eulerova síla – uplatní se pouze u zrychleného otáčivého pohybu soustavy, pokud je úhlové zrychlení konstantní, vymizí (F = -m*ε ×r). Není příliš významná v praxi. ω v φ