2.2. Dynamika hmotného bodu … Newtonovy zákony Použití druhého pohybového zákona Práce, výkon Kinetická energie Zákon zachování mechanické energie Hybnost 2.3 Mechanika soustavy hmotných bodů Hmotný střed 1. věta impulsová Fyzika I-2019, přednáška 2

Použití druhého pohybového zákona   𝐹 𝑥 𝑅 =𝑚 𝑎 𝑥 2. N. z. představuje pohybové rovnice 1. využití: ze známé síly z pohybových rovnic → pohybové funkce a ostatní charakteristiky pohybu pohybová rovnice ≡ vztah pohybové funkce x (t), y (t), z (t) – popisují pohyb Dáno: síla a počáteční podmínky Postup: volba souřadnicového systému v něm se řeší pohybové rovnice integrací 𝐹 𝑦 𝑅 =𝑚 𝑎 𝑦 𝐹 𝑧 𝑅 =𝑚 𝑎 𝑧 Fyzika I-2019, přednáška 2

Šikmý vrh ≡ pohyb v poli tíhové síly 𝐹 𝐺 =𝑚 𝑔 ℎ       výška ℎ místo dopadu 𝑥 𝑑 tvar trajektorie Fyzika I-2019, přednáška 2

Speciální případy šikmého vrhu: vodorovný vrh: a = 0° (závaží puštěno z koše balonu letícího vodorovně) svislý vrh vzhůru: a = 90° svislý vrh dolů: a = 270° = - 90° volný pád: v0=0 Šikmý vrh 𝑣 0 sin 𝛼 𝑣 0 cos 𝛼 x       Fyzika I-2019, přednáška 2

těleso na vodorovné podložce v klidu na těleso tíhová síla 𝐹 𝐺 Některé síly v přírodě 2. Normálová síla na těleso N – síla, kterou podložka působí na těleso směrem kolmým k podložce kolmá složka síly, kterou těleso působí na podložku těleso na vodorovné podložce v klidu na těleso tíhová síla 𝐹 𝐺 těleso působí na podložku N ≡ reakce podložky na kolmou složku síly, kterou působí těleso na podložku 𝐹 𝑅 = 0 těleso na nakloněné rovině Fyzika I-2019, přednáška 2

𝑓…koeficient tření (statický, dynamický), 𝑁 je normál. síla Některé síly v přírodě 3. Síla tření 𝑓…koeficient tření (statický, dynamický), 𝑁 je normál. síla není to vektorová rovnice: síla tření působí v jiném směru než normálová síla !!! směr: působí proti pohybu 𝐹 𝑡 =𝑓𝑁 Fyzika I-2019, přednáška 2

Použití druhého pohybového zákona Dáno: síla a počáteční podmínky Cíl: pohybové charakteristiky (pohybové funkce, …) Postup: volba souřadnicového systému v něm se řeší pohybové rovnice integrací Fyzika I-2019, přednáška 2

Použití druhého pohybového zákona 2. Pohyb po nakloněné rovině: dáno: m, a, f , poč. podm. 𝑣0=0, 𝑥0=0 síly? souřadnicový systém tabule rovnoměrně zrychlený pohyb podél osy x plnou čarou Fyzika I-2019, přednáška 2

Použití druhého pohybového zákona 3. Pohyb po kružnici 𝐹 = 𝐹 𝜏 𝜏 0 + 𝐹 𝑛 𝑛 0 rozklad do přir. směrů: tečná složka síly – mění velikost rychlosti normálová sl. rovnoměrný pohyb po kružnici – 𝑣 = konst dostředivá síla – mění směr rychlosti 𝐹 𝜏 =𝑚 𝑎 𝜏 =𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝐹 𝑛 =𝑚 𝑎 𝑛 =𝑚 𝑣 2 𝑅 𝐹 𝜏 =0 𝐹 𝑛 =𝑚 𝑣 2 𝑅 =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 9 Fyzika I-2019, přednáška 2

práce - skalární veličina, dráhové účinky síly Práce, výkon práce - skalární veličina, dráhové účinky síly 𝑑𝑊=𝐹 cos 𝛼 𝑑𝑟= 𝐹 ∙𝑑 𝑟 projekce 𝐹 do směru 𝑑 𝑟 𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹𝑑𝑟 cos 𝛼 𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹 ∙𝑑 𝑟 Kdy 𝑑𝑊=0? k práci přispívá pouze tangenciální (tečná) složka síly, normálová složka k práci nepřispívá jedn. práce joule, J eV (elektronvolt) 𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹 𝑥 𝑑𝑥+ 𝐹 𝑦 𝑑𝑦+ 𝐹 𝑧 𝑑𝑧

Práce, výkon výkon P jedn. výkonu watt, W účinnost 𝑃= 𝑑𝑊 𝑑𝑡 𝑃= 𝐹 ∙ 𝑣 𝑃= 𝑃 𝑃 0 100%

Práce, výkon 1. Práce tíhové síly 𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹 𝑥 𝑑𝑥+ 𝐹 𝑦 𝑑𝑦+ 𝐹 𝑧 𝑑𝑧 Práce, výkon 1. Práce tíhové síly tabule W > 0 pro yA > yB W nezávisí na trajektorii práce konzervat. síly po uzavř. kř. je rovna 0 𝑊=𝑚𝑔( 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝑏 ) Práce konzervativní síly po dráze závisí pouze na poloze počátečního a koncového bodu trajektorie. 12

W < 0 – disipativní síla 𝑊 𝐴→𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐹𝑑𝑟 cos 𝛼 2. Práce síly tření Ft = N f = konst tabule W < 0 – disipativní síla W závisí na trajektorii, není konzervativní síla (při pohybu po černé trajektorii se disipuje více mechanické energie než po červené trajektorii) 𝑊=−𝑁𝑓𝑠 Fyzika I-2019, přednáška 2 13

práce dostředivé síly je nulová   𝑑𝑊=0 14 Fyzika I-2019, přednáška 2

změna pohybového stavu – působení síly po dráze – práce Kinetická energie změna pohybového stavu – působení síly po dráze – práce veličina kinetická energie 𝐸 𝑘 : dynamická veličina, která souvisí s pohybem a která se vykonanou prací mění tabule Pozn. výsledná síla může být konzervativní a/nebo disipativní síly Př. Spočtěte rychlost vs tělesa hmot. m na úpatí nakloněné roviny délky s, úhlu a, t = 0: v = 0 𝐸 𝑘 = 1 2 𝑚 𝑣 2 teorém práce – kinetická energie, věta o kin. energii: změna kinetické energie tělesa je rovna práci výsledné síly vykonané na tělese 𝐸 𝑘𝐵 − 𝐸 𝑘𝐴 = 𝑊 𝐴→𝐵 Δ𝐸 𝑘 = 𝑊 𝐴→𝐵 A B

Potenciální energie veličina – rozměr práce souvisí s polohou tělesa, „polohová energie“ Def. Jestliže konzervativní síla vykoná práci na tělese, změní se jeho potenciální energie 𝐸 𝑝 : Def. Pot. en. v místě 𝑟 je práce, kterou konz. síla vykoná při přemístění tělesa do místa s nulovou pot. en.: Jiné vyjádření: Práce vykonaná konzervativní sílou je rovna úbytku potenciální energie. 𝐸 𝑝𝐵 = 𝐸 𝑝𝐴 − 𝐴 𝐵 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 𝐸 𝑝 𝑟 = 𝑟 𝐸 𝑝 =0 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 𝐴 𝐵 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 = 𝐸 𝑝𝐴 − 𝐸 𝑝𝐵 =−∆ 𝐸 𝑝 jen pro tělesa v poli konzervativní síl (práce nesmí záležet na cestě, ale jen na počáteční a koncové poloze) fyzikální význam má jen rozdíl potenciálních energií

Př. potenciální energie v poli tíhové síly 𝐸 𝑝 𝑟 = 𝑟 𝐸 𝑝 =0 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 Potenciální energie Př. potenciální energie v poli tíhové síly potenciální energie spojená s jinou konzervativní silou má jiný tvar !!! 𝐸 𝑝 =𝑚𝑔 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵 =𝑚𝑔ℎ ℎ je výška nad úrovní nulové pot. en. 𝐸 𝑝 =0 Fyzika I-2019, přednáška 2

Zákon zachování mechanické energie 𝐴 𝐵 𝐹 𝑘𝑜𝑛𝑧 ⋅𝑑 𝑟 = 𝐸 𝑝𝐴 − 𝐸 𝑝𝐵 Zákon zachování mechanické energie teorém práce-kin. energie platí pro konzer. i disip. síly → tabule … mechanická energie … práce disipativní síly vede ke změně mechanické energie Zákon zachování mech. energie: Jestliže na těleso nepůsobí žádná disipativní síla, mech. energie se nemění DE = 0 EA = EB EkA + EpA = EkB + EpB z.z.m.e. platí jen v konzervativních systémech teorém práce-kinetická energie platí vždy, i pro disipativní síly 𝐸 𝑘𝐵 − 𝐸 𝑘𝐴 = 𝑊 𝐴→𝐵 𝑘𝑜𝑛𝑧 + 𝑊 𝐴→𝐵 𝑑𝑖𝑠 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 =𝐸 Δ𝐸= 𝑊 𝑑𝑖𝑠 Fyzika I-2019, přednáška 2 18

Př. a) Výška šikmého vrhu ℎ, dáno: 𝑚, 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑣 0 , a b) rychlost 𝑣 𝐶 určitém bodě trajektorie Př. Rychlost dopadu 𝑣 𝐵 po volném pádu z výšky ℎ A B A C B 𝐸 𝑝 =0 𝐸 𝑝 (𝑦=0)=0 19 Fyzika I-2019, přednáška 2

Hybnost, impuls (ve skriptech odd. 2.2.2) dynamická veličina hybnost 𝑝 1. formulace 2. N. z. Impuls síly 𝐼 úpravou 2. N.z. tabule 𝐹 𝑅 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝐼 = 𝐹 𝑅 ( 𝑡 2 − 𝑡 1 )= 𝐹 𝑅 ∆𝑡 využití 2. formulace 2. N. z. – soustava hmotných bodů, srážky 𝑝 =𝑚 𝑣 2. formulace 2. N. z. 𝐹 𝑅 =𝑚 𝑎 𝐹 𝑅 = 𝑑 𝑝 𝑑𝑡 𝐹 𝑅 = 𝑑(𝑚 𝑣 ) 𝑑𝑡 =𝑚 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 =𝑚 𝑎 𝑝 2 − 𝑝 1 = 𝑡 1 𝑡 2 𝐹 𝑅 𝑑𝑡 = 𝐼 impuls síly 𝐼 - časový účinek síly impuls síly vyvolává změnu hybnosti Fyzika I-2019, přednáška 2

2.3 Mechanika soustavy hmotných bodů soustava hmotných bodů: 𝑛 hmotných bodů, 𝑖-tý hmotný bod: 𝑚 𝑖 , 𝑟 𝑖 volná s vazbami tuhá (další aproximace – tuhé těleso) počet stupňů volnosti: počet nezávislých parametrů určujících polohu soustavy Soustava Počet stupňů volnosti 1 hmot. bod 3 n hmot. bodů (volných) 3n 2 hmot. body – tuhá soustava 2 . 3 - 1 = 5 3 hmot. body – tuhá soustava 3 . 3 - 3 = 6 n hmot. bodů – tuhá soustava 6 Fyzika I-2019, přednáška 2

(v místě hmotného středu nemusí existovat žádný hmotný bod) Hmotný střed soustavy poloha hmot. středu: (v místě hmotného středu nemusí existovat žádný hmotný bod) hybnost soustavy 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 hybnost hm. stř. 𝑚 𝑣 𝑇 hybnost hmotného středu = celková hybnost soustavy 𝑟 𝑇 = 1 𝑚 𝑖=1 𝑛 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 , 𝑚= 𝑖=1 𝑛 𝑚 𝑖 𝑚 𝑣 𝑇 = 𝑖=1 𝑛 𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 Fyzika I-2019, přednáška 2

1. věta impulsová spojuje zákon síly a zákon akce a reakce 𝑚 𝑣 𝑇 = 𝑖=0 𝑛 𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 1. věta impulsová 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 Počítejme tabule Změna celkové hybnosti soustavy za jednotku času je rovna výslednici vnějších sil. Vnitřní síly celkovou hybnost soustavy neovlivňují. 1. věta impulsová spojuje zákon síly a zákon akce a reakce Věta o pohybu hmotného středu Hm. střed se pohybuje jako hm. bod, do kterého je soustředěna celá hmotnost soustavy a na který působí výslednice vnějších sil. Zákon zachování hybnosti - důsledek 1. věty impulsové 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 1. věta impulsová 𝑚 𝑎 𝑇 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 0 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 0 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘,𝐴 = 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘,𝐵

Soustava hmotných bodů Srážky 𝑑 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 Soustava hmotných bodů např. kulečníkové koule na stole, ideální plyn tvořený „molekulami“ vnější síly se vyruší nebo jsou malé ve srovnání s vnitřními silami zákon zach. hybnosti Srážka 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 0 ⇒ 𝑝 𝑐𝑒𝑙𝑘 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 (A) (B) 𝑝 𝐴 = 𝑝 𝐵 celková hybnost před srážkou (A) = celková hybnost po srážce (B) na obou stranách: vektorový součet hybností všech těles !!! Fyzika I-2019, přednáška 2

dokonale pružné: navíc EkA = EkB Srážky 𝑝 𝐴 = 𝑝 𝐵 dokonale pružné: navíc EkA = EkB dokonale nepružné, EkB < EkA – navíc po srážce tělesa spojena 𝑚 1 𝑚 2 x zákon zachování pro hybnost nikoli „celkovou rychlost“ znaménko vypočtené rychlosti Fyzika I-2019, přednáška 2

https://ufmt.vscht.cz/index.php/cs/pozadavky-ke-zkouskam-terminy-testu Fyzika I-2019, přednáška 2

3. Mechanika tuhého tělesa Srážky 3. Mechanika tuhého tělesa Organizační in formace 1. průběžný test 8. týden, pátek 12. 4. 2019, max. 100 bodů 2. průběžný test 13. týden, pátek 17. 5. 2019, max. 100 bodů https://ufmt.vscht.cz/index.php/cs/ Fyzika I-2019, přednáška 2