Základy fyziky pro PS 2. seminář, 2. 10. 2018 Jiří Kohout Oddělení fyziky, Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah semináře Newtonovy pohybové zákony Typy silových interakcí Hybnost a zákon zachování hybnosti Vlastnosti tekutin, ideální kapalina, ideální plyn Tlak vnějších sil, Pascalův zákon Hydrostatický tlak, Torricelliho pokus, Archimedův zákon Proudění kapalin, viskozita Rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice

Newtonovy pohybové zákony 3 základní principy dynamiky (část mechaniky zabývající se příčinami pohybu, základní veličiny hmotnost a síla) Ačkoliv vypadají na první pohled jednoduše až nezajímavě, tvoří základ klasické mechaniky a umožňují řešit zásadní fyzikální úlohy! 1. NPZ – zákon setrvačnosti 2. NPZ – zákon síly 3. NPZ – zákon akce a reakce Sílu chápeme jako míru vzájemného působení (interakce) dvou těles. Je to vektorová veličina mající pohybové a deformační účinky (obecně mění polohu, ale i rozměry a tvar těles)

Zákon setrvačnosti Těleso setrvává ve stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, není-li vnějšími silami nuceno tento stav změnit Toto tvrzení vůbec není samozřejmé, dříve se věřilo, že na samotné udržení pohybu je třeba určitá síla (viz třeba zastavení kuličky hozené po podlaze po uražení určité dráhy…)! Galilei: Za zastavení kuličky může třecí síla, tu můžeme libovolně zmenšovat (viz různé dráhy kuličky na různých materiálech podlahy), pokud ji dokážeme zcela potlačit, kulička se bude pohybovat pořád stejně a urazí nekonečnou dráhu → pokud bude výsledná síla nulová, pohybový stav tělesa se nemění Hmotnost chápeme jako míru setrvačnosti tělesa (čím větší hmotnost, tím větší síla potřebná na danou změnu pohybového stavu, např. na zastavení…)

Zákon síly Těleso, na něž působí síla, se pohybuje se zrychlením, jež je přímo úměrné působící síle F a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa m. Matematická formulace 1. a 2. NPZ (první mluví o situaci, kdy síla nepůsobí, 2. o situaci, kdy ano): F = m*a = m*∆v/∆t = ∆p/∆t. Pozor, pouze třetí z uvedených vztahů platí zcela obecně, první dva se dají užít pouze v okamžiku, kdy se hmotnost tělesa nemění (to neplatí třeba u rakety vypouštějící palivo apod.)!! Zákon síly umožňuje sestavit tzv. pohybovou rovnici, jejíž pomocí můžeme řešit konkrétní úlohy.

Typy silových interakcí a) síly skutečné b) síly setrvačné (zdánlivé) – jen v tzv. neinerciálních soustavách Ad a) Dělí se na gravitační – univerzální interakce, zásadní význam pro velké vzdálenosti objektů (F ~m*M/r2) elektromagnetické – jen mezi nabitými tělesy (F ~q*Q/r2) silné (jaderné) – extrémně silné, ale jen na velmi krátké vzdálenosti, drží pohromadě atomové jádro slabé – projevují se u elementárních částic Elektromagnetické + slabé = teorie elektroslabé interakce (Glashow, Salam, Weinberg, Nobelova cena 1979)

Typy silových interakcí 2 Moderní fyzika se snaží vysvětlit všechny typy interakcí z jednoho úhlu pohledu – tzv. Teorie všeho (cíl teorie strun apod.) Typ interakce dosah [m] relativní síla gravitační ∞ 10-38 elektromagnetická ∞ 10-2 silná 10-15 1 slabá 10-18 10-13

Zákon akce a reakce Každá akce způsobuje vždy stejnou reakci opačného směru čili vzájemná působení těles jsou stejně veliká a opačného směru. Důležité je, že obě působí na jiná tělesa, proto se nemohou vyrušit Příklad: Jakou sílou F působí lano na těleso o hmotnosti M (soustava je v klidu)? Řešení: Na těleso m působí tíhová síla FG = m*g. Díky tomu, že je v rovnováze, musí působit stejně velkou sílou opačného směru na lano. Podle zákona akce a reakce pak působí lano stejnou silou na toto těleso a stejná síla tudíž musí působit i na těleso o hmotnost M! M F m FG F = FG !

Hybnost, zákon zachování hybnosti Hybnost – vektorová veličina daná součinem hmotnosti a rychlosti (p = m*v). Značení p, jednotka kg*(m*s-1) = kg*m*s-1 Zásadním důsledkem 2 a 3. NPZ je zákon zachování hybnosti (ZZH): V mechanicky izolované soustavě se celková hybnost zachovává Vzhledem k tomu, že hybnost je vektorová veličina, musíme i zákon zachování chápat vektorově! Význam ZZH uvidíme na konkrétních příkladech.

Zákon zachování hybnosti – příklad 1 Příklad 1: Na zamrzlém rybníku stojí vedle sebe dva bruslaři o hmotnostech m1 = 40 kg a m2 = 80 kg. Poté, co první z nich odstrčil druhého, získal druhý bruslař rychlost v2 = 2 m*s-1. Jaká je rychlost v1 prvního bruslaře po odstrčení? ŘEŠENÍ: Výsledná vnější síla působící na bruslaře je nulová (tíhová síla je kompenzována reakcí ledu). Jde tedy o mechanicky izolovanou soustavu. Před odstrčením byla celková hybnost nulová (oba byly v klidu). Po odstrčení musí být celková hybnost opět nulová (ZZH !). Toho lze docílit jedině tak, že se oba budou pohybovat proti sobě a velikosti hybností budou stejné! (vektory se pak odečtou). Platí tedy: p1 = p2 → m1*v1 = m2*v2 → v1 = (m2*v2)/m1 = (80*2)/40 = 4 m*s-1. Rychlost prvního bruslaře po odstrčení je tedy v1 = 4 m*s-1.

Zákon zachování hybnosti – příklad 2 Příklad 2 (princip balistického kyvadla): Do truhlíku od hmotnosti M = 3 kg, který je v klidu na závěsu dané délky, vletí náboj o hmotnost m = 30 g a rychlosti v = 300 m*s-1. Náboj v truhlíku uvízne. Určete rychlost vc, se kterou se soustava začne pohybovat. ŘEŠENÍ: Opět jde o mechanicky izolovanou soustavu. Před nárazem byla celková hybnost dána hybností náboje (truhlík byl v klidu) a pro její velikost platilo p1 = m*v. Po nárazu je hybnost dána součtem obou hmotností a výslednou rychlostí, platí pro ni tedy vztah p2 = (M+m)*vc. Podle ZZH musí být hybnost před a po nárazu shodná (směr je shodný, stačí uvažovat velikosti). Proto platí: p1 = p2 → m*v = (M+m)*vc → vc = m*v / (M+m) = 0,03*300/(3+0,03) ≈ 1 m*s-1. Výsledná rychlost je vc ≈ 1 m*s-1

Tekutiny Tekutiny (kapaliny a plyny) se výrazně odlišují vnitřní strukturou od pevných látek, na rozdíl od nich jsou kvůli nízké vnitřní potenciální energii (ve srovnání s kinetickou) tvarově nestálé, molekuly nezaujímají rovnovážné polohy Kapaliny – jsou v podstatě nestlačitelné, tj. malý stálý objem, tvar je určen tvarem nádoby Plyny – jsou stlačitelné, objem i tvar je dán tvarem nádoby Poznámka – existuje ještě 4. skupenství – plazma (vysoce ionizovaný plyn) Ve vesmíru je drtivá většina hmoty v plazmatickém skupenství! Pevná látka- Epot > Ekin Kapalina – Epot ≈ Ekin Plyn – Ekin > Epot

Ideální kapalina, ideální plyn Pro zjednodušení zavádíme fyzikální abstrakce – ideální kapalina, ideální plyn Ideální kapalina (IK) – (i) je dokonale nestlačitelná, (ii) má nulové vnitřní tření Ideální plyn (IP) – (i) rozměry částic jsou zanedbatelné, (ii) částice na sebe mimo srážky silově nepůsobí,(iii) srážky jsou dokonale pružné Výhoda IP, IK – jednoduchý matematický popis Nevýhoda IP, IK – v řadě případů mimo realitu, např. popisovat med jako kapalinu bez vnitřního tření vede k nesmyslným výsledkům… Dále se budeme věnovat v podstatě jen případu IK.

Tlak 1 Hydrostatika se zabývá mechanickými vlastnosti kapalin nacházejících se v klidu. Základním veličinou je zde tlak (značíme p) definovaný jako síla na plochu. Tedy p= F/S. Jednotka tlaku je pascal (Pa). Rozměr Pa: p = F/S → Pa = N/m2 = kg*m*s-2/m2 = kg*m-1*s-2 Pozor, vždy musíme důsledně rozlišovat (a) tlak vyvolaný povrchovými silami (např. silou působící na píst v hydraulickém lisu) (b) tlak vyvolaný objemovými silami (např. tlak vyvolaný tíhovou silou působící na každou částici kapaliny) Píst – povrch S F Tlak p = F/S vyvolaný povrchovou vnější silou Povrch dna S, hmotnost kapaliny m Tlak p = FG/S =m*g/S vyvolaný objemovou tíhovou silou FG.

Tlak povrchových sil, Pascalův zákon Uvažujme, že na píst o obsahu S působíme vnější povrchovou silou F, objemové síly ignorujeme. Pascalův zákon: Tlak vyvolaný vnější povrchovou silou je ve všech místech kapaliny stejný! Důsledek: hydraulická zařízení (lis, zvedák apod.) – malou silou F1 působící na malý píst obsahu S1 můžeme vyvolat mnohem větší sílu F2 působící na velký píst obsahu S2 F1/S1 = F2/S2 F2 S1 F1 S2 p = konst. → F1/S1 = F2/S2 → F2 = F1*S1/S2

Hydrostatický tlak Nyní uvažujme tlak u dna vyvolaný tíhovou silou FG (objemová síla) působící na kapalinu o hmotnosti m (hustota ρ) umístěnou v nádobě tvaru kvádru s povrchem dna S. p = FG/S = m*g/S = V*ρ*g/S = S*h*ρ*g/S= h*ρ*g Hydrostatický tlak tedy závisí na hustotě kapaliny, výšce hladiny a na tíhovém zrychlení. Výpočet pro tvar kvádru, platí však hydrostatické paradoxon: Hydrostatický tlak nezávisí na tvaru nádoby (ve skutečnosti nejde o žádný paradox, je to důsledek rovnic mechaniky kapalin!) Tlaková síla na dno: F = p*S = S*h*ρ*g. ρ h p S F ρ h p F S p = h*ρ*g

Hydrostatický tlak 2 Příklad: Stanovte tlakové síly působící na stěny akvária tvaru krychle o hraně a = 50 cm, které je kompletně naplněno vodou o hustotě ρ = 1000 kg/m3. Tíhové zrychlení berte jako g = 10 m*s-2 Řešení: Tlakovou sílu na dno určíme snadno jako F1 = p1*S = a*ρ*g*S = a*ρ*g*a2 = a3*ρ*g = 0,53*1000*10 = 1250 N. Horší je to s tlakovou silou F2 na boční stěny (vzhledem k symetrii bude na všechny stejná). Tlak se v závislosti na hloubce h pod hladinou spojitě mění. U dna je hloubka a, u hladiny je 0. Proto vezmeme průměrnou hodnotu a/2 a spočteme: F2 = p2*S = a/2*ρ*g*S = a/2*ρ*g*a2 = a3/2*ρ*g = 0,53/2*1000*10 = 625 N. a/2 ρ p2 a p1 S = a2 F1 p1 = a*ρ*g p2 = a/2* ρ*g Poznámka: Zprůměrování hloubek bylo možné pouze díky krychlovému tvaru nádoby!!

Torricelliho pokus Pokus umožňující určit hodnotu atmosférického tlaku. Umístíme trubičku do nádoby se rtutí a uvidíme, ze rtuť v trubičce vystoupá do výšky h nad hladinu v nádobě. U hladiny v nádobě se musí rovnat hydrostatický tlak rtuti h*ρ*g atmosférickému tlaku pa (nahoře v trubičce je prakticky vakuum) → z výšky h určíme atmosférický tlak. Proč rtuť?? Má vysokou hustotu (ρ = 13600 kg*m-3). Pro rtuť je pak výška h při pa = 100 kPa zhruba 76 cm, pro vodu by byla 10 m!!). Atmosférický tlak závisí na výšce nad zemí, s výškou klesá zhruba podle tzv. barometrické formule: pa = p0*e-ρ*g*h/k*T (e – Eulerovo číslo, zhruba 2,71, p0 tlak v nulové výšce) vakuum h pa ρ pa = h*ρ*g

Archimedův zákon 1 V nádobě s kapalinou máme homogenní těleso tvaru krychle o hraně a. Horní podstava je h1 pod hladinou, dolní poté h2 pod hladinou. Na všechny stěny působí tlakové síly, ty z boku se však díky stejné velikosti a opačnému směru vyruší. Tlaková síla F2 je však větší než tlaková síla F1, jejich rozdílem je vztlaková síla Fvz, která působí směrem vzhůru! Pro její velikost platí: Fvz = F2 - F1 = p2*a2-p1*a2 = (h2*ρ*g-h1*ρ*g)*a2 = (h2-h1)*ρ*g *a2 = a*a2* ρ*g = V*ρ*g. Výpočet jsme provedli pro těleso tvaru kvádru, složitěji lze ukázat, že platí i pro jiné tvary! h1 p1 F1 h2 a F2 p2 a = h2 – h1 ρ – hustota kapaliny, nikoliv hustota tělesa!

Archimedův zákon 2 Pokud není ponořeno celé těleso, ale pouze určitá jeho část, musíme do vztahu pro vztlakovou sílu dosadit pouze objem ponořené části. Uvědomíme si, že pro tíhu kapaliny vytlačené těleso platí vztah FG = m*g = Vponor*ρ*g a můžeme zformulovat Archimedův zákon: Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, rovnající se tíze kapaliny stejného objemu jako je ponořená část tělesa. Poznámka: Archimedův zákon platí i pro plyny, hustota plynu je však zpravidla tak malá, že vztlaková síla může být zanedbána (ne vždy!) Fvz ρ FG Fvz = V*ρ*g Vponor Fvz FG ρt –hustota tělesa ρ Fvz = Vponor*ρ*g FG = m*g = V*ρt *g

Archimedův zákon 3 Jak se bude těleso chovat v tíhovém poli v kapalině v závislosti na hustotě kapaliny ρ a hustotě tělesa ρt? Jsou 3 možnosti: ρ < ρt → FG = V*ρt*g > Fvz = V*ρ*g → těleso klesá ke dnu ρ = ρt → FG = V*ρt*g = Fvz = V*ρ*g → těleso bude celé ponořené, neklesne však ke dnu (hraniční případ) ρ > ρt → FG = V*ρt*g < Fvz = V*ρ*g → část tělesa se vynoří. Jaká část zůstane ponořena? FG = Fvz → V*ρt*g = Vponor* ρ*g → Vponor = V*ρt/ρ. Příklad: Jaká část ledovce (hustota ledu ρl = 917 kg/m3) je pod hladinou v mořské vodě o hustotě ρv = 1030 kg/m3 ? Řešení: Použitím vztahu Vponor = V*ρl/ρv dostáváme V ponor ≈ 0,89 V. Tj téměř 90% ledu je pod hladinou, pouze zhruba desetina nad ní (špička ledovce)

Viskozita U reálné kapaliny vždycky existuje vnitřní tření, které vzniká kvůli vzájemnému silovému působení částic během proudění Vyšší vnitřní tření → pomalejší proudění Fyzikální veličina popisující vnitřní tření – viskozita. Rozlišujeme dynamickou viskozitu η a kinematickou viskozitu μ = η/ρ, kde ρ je hustota kapaliny. Viskozita s rostoucí teplotou kapaliny klesá! Popis reálných kapalin je matematicky velmi náročný, proto se budeme omezovat na případ ideální kapaliny (= nestlačitelné kapaliny s nulovou viskozitou)

Hydrodynamika – typy proudění Na rozdíl od hydrostatiky se zabývá pohybem kapalin, tedy prouděním. Zajímá se o rychlost proudění případně energii kapaliny.Rozlišujeme proudění a) stacionární (rychlost se nemění v čase) b) nestacionární (rychlost se mění v čase). Důležitější je však rozdělení na a) laminární proudění – proudnice jsou navzájem rovnoběžné, nejsou víry b) turbulentní (vírové) proudění –dochází ke vzniku vírů. Přechod od laminárního k turbulentímu proudění nastává při zvýšení rychlosti, závisí však i na průměru trubice d a kinematické viskozitě μ. Přechod popisuje tzv. Reynoldsovo číslo Re = v*d/ μ, turbulentní proudění nastává zhruba pro Re > 4000 Laminární proudění Pozn. vzhledem k viskozitě není rychlost stejná!! turbulentní proudění

Rovnice kontinuity Při proudění kapaliny zavádíme veličinu objemový tok QV udávající, jaký objem protekl za jednotku času. Pro výpočet platí QV= S*v, jednotka je proto m2*m*s-1 = m3*s-1 Pro ideální kapalinu (je nestlačitelná) platí, že objemový tok v různých průřezech trubice musí být stálý (kapalina se nemůže nikam ztratit, jde o přímý důsledek zákona zachování hmotnosti!) Rovnice kontinuity: QV = konst. → S1*v1 = S2*v2 Pokud tedy zmenšíme, průřez zvětší se rychlost (viz zahradní hadice apod.) S2 Rychlost v průřezu uvažujeme všude stejnou, protože jde o IK (tj. nulové vnitřní tření) S1 v2 S1*v1 = S2*v2 v1

Tlaková potenciální energie Tlaková potenciální energie – má-li kapalina tlak p a pohne pístem s průřezem S o délku ∆l, koná práci Ept = W = F*∆l = p*S*∆l = p*∆V. Tlaková potenciální energie vztažená na jednotku objemu je rovnou (hydrodynamický) tlak. píst F p ∆l

Bernoulliho rovnice p1 Zákon zachování mechanické energie pro proudění ideální kapaliny – obecně zahrnuje kinetickou energii Ekin = ½*m*v2, potenciální energii Epot = m*g*h a tlakovou energii Etl = p*V. Součet musí být konstantní. Bernoulliho rovnice je zpravidla ve tvaru po vydělení objemem V: ½*ρ*v2 + ρ*g*h + p = konst. Pro vodorovnou trubici (tj- stálá potenciální tíhová energie máme: ½*ρ*v2 + p = konst. (tj. růst rychlosti vede ke snížení tlaku!) Pro reálnou kapalinu rovnice neplatí kvůli přítomnosti vnitřního tření (stejně jako neplatí ZZME pro volný pád, když počítáme odpor vzduchu – přeměna na vnitřní energii!) v1 p2 h1 v2 h2 ½*ρ*v12 + ρ*g*h1 +p1 = ½*ρ*v22 + ρ*g*h2 + p2

Shrnutí hodiny Děkuji vám za pozornost!! Rozumět všem 3 Newtonovým pohybovým zákonům a vědět, že jejich důsledkem je zákon zachování hybnosti Umět aplikovat zákon zachování hybnosti v jednoduchých příkladech (viz slajdy 10 a 11) Vědět, jaké typy silových interakcí existují a znát jejich základní vlastnosti (dosah, relativní síla) Vědět, jaké vlastnosti má ideální kapalina Umět rozlišovat mezi tlakem vyvolaným vnějšími silami a objemovými silami, vědět, pro které z nich platí Pascalův zákon, vědět, co Pascalův zákon znamená Vědět, jak se spočte hydrostatický tlak v hloubce h pod hladinou Vědět, proč se u Torricelliho pokusu používá rtuť a ne voda Na základě znalosti Archimedova zákona umět určit, co se stane po ponoření tělesa dané hustoty do kapaliny dané hustoty (včetně určení toho, jaká část objemu případně zůstane ponořená) Vědět, důsledkem jakých fundamentálních zákonů zachování jsou rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice Děkuji vám za pozornost!!