Střední škola obchodně technická s. r. o. Název školy Střední škola obchodně technická s. r. o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0624 Číslo a název klíčové aktivity 3.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název DUM: VY_32_INOVACE_III_2_12_Analytická geometrie V. – vzájemná poloha dvou přímek v rovině Šablona číslo: III Sada číslo: 2 Pořadové číslo DUM: 12 Autor: PaedDr. Mgr. Libuše Ďurišová

Anotace Materiál seznamuje žáky se vzájemnou polohou dvou přímek v rovině a vysvětluje pojmy totožnost, rovnoběžnost, různoběžnost a kolmost přímek. Autor PaedDr. Mgr. Libuše Ďurišová Klíčová slova přímka, parametrická, obecná a směrnicová rovnice přímky, totožnost, rovnoběžnost, různoběžnost, kolmost dvou přímek Druh učebního materiálu Prezentace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Tematická oblast Matematika Kompetence Žák aktivně ovládá analytické vyjádření přímky parametrickou, obecnou a směrnicovou rovnicí, umí tyto rovnice vzájemně převádět, umí řešit úlohy vyžadující určení společných bodů dvou přímek, umí určit odchylku dvou různoběžných přímek při různých způsobech jejich zadání.

ANALYTICKÁ GEOMETRIE IV. vzájemná poloha dvou přímek v rovině I.

Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Jsou-li dány v rovině dvě přímky, mohou nastat tyto tři situace: přímky mají nekonečně mnoho společných bodů = přímky totožné přímky mají jeden společný bod = přímky různoběžné (zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky kolmé) přímky nemají žádný společný bod = přímky rovnoběžné

Přímky totožné Definice: Dvě přímky p(A; u) a q(B; v) jsou totožné právě tehdy, když směrový vektor u je násobkem vektoru v a bod B leží na přímce p.

Co platí pro totožné přímky směrové vektory jsou si násobkem normálové vektory jsou si násobkem obecné rovnice jsou si násobkem směrnicové tvary obou přímek jsou totožné všechny body náležící p zároveň leží na q

Přímky různoběžné Definice: Dvě přímky p(A; u) a q(B; v) jsou různoběžné právě tehdy, když mají jeden společný bod (když se protínají v jednom bodě). Tento bod se obvykle označuje P a nazývá se průsečík.

Co platí pro různoběžné přímky mají právě jeden společný bod svírají spolu úhel větší než nula a menší nebo roven 90° jestliže je úhel roven 90°, potom jsou přímky kolmé

Přímky kolmé Kolmice - jsou dvě různoběžné přímky, které mezi sebou svírají úhel α = 90°, resp. α = π/2. Je-li přímka p kolmá k přímce q, zapisuje se p⊥q. Průsečík kolmice s danou přímkou se nazývá pata kolmice. Daným bodem lze vést k dané přímce p jedinou kolmici.

Co platí pro přímky kolmé Při určování kolmosti přímek hraje velkou roli skalární součin jejich směrových (nebo normálových) vektorů. Přímky jsou kolmé pouze tehdy, když skalární součin směrového (nebo normálového) vektoru první přímky a směrového (nebo normálového) vektoru druhé přímky je roven nule. Pro vektory u = (u1; u2) a v = (v1; v2) tedy musí platit: u1v1 + u2v2 = 0

Přímky rovnoběžné Definice: Dvě přímky p(A, u) a q(B, v) jsou rovnoběžné právě tehdy, je-li vektor u nenulovým reálným násobkem vektoru v.

Co platí pro rovnoběžné přímky směrové vektory jsou si násobkem normálové vektory jsou si násobkem směrnicové tvary obou přímek se liší v parametru daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku

Zdroje: [1] KONČEL, Jan. Využití internetu ve výuce analytické geometrie na střední škole. Diplomová práce. [online]. ©2009. [cit. 2013-09-22]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnaRovnice [2] Obrázky vzájemné polohy přímek. [online]. ©2012. [cit. 2013-09-22]. Dostupné z: https://www.google.cz/?gfe_rd=ctrl&ei=dUoUU_HiIImU_Aao7IC4Dw&gws_rd=cr#q=obr%C3%A1zky+vz%C3%A1jemn%C3%A9+polohy+p%C5%99%C3%ADmek [3] VOJÁČEK, Jakub. Vzájemná poloha přímek v rovině. [on line]. ©maths.cz 2008-2010. [cit. 2013-09-22]. ISSN: 1803-7615. Dostupné z: http://maths.cz/clanky/analyticka-geometrie-vzajemna-poloha-dvou-primek-a-primky-s-rovinou.html [4] VOŠICKÝ Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1977. 124 s. ISBN 80-7200-012-8.