Podobnost trojúhelníků * 16. 7. 1996 Podobnost trojúhelníků Matematika – 9. ročník *

Podobnost trojúhelníků Matematická podobnost Podobné jsou takové útvary, které mají stejný poměr vzdáleností odpovídajících si bodů. obraz : vzor 𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ : 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ : 𝑩𝑫 = … Tento poměr lze vyjádřit číslem D´ C´ D 𝒌= 𝑨´𝑩´ 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ 𝑩𝑫 = …; C 𝑂 1 𝑂 2 číslo k (k > 0) nazýváme poměr (koeficient) podobnosti. Podobnost zapisujeme: 𝑶 𝟏 ~ 𝑶 𝟐 . B A Podobné útvary mají shodné odpovídající si úhly. A´ B´

Podobnost trojúhelníků Shodnost trojúhelníků Věta sss: T C ∆𝑨𝑩𝑪≅∆𝑹𝑺𝑻 r a s b S B t c R A 𝐴𝐵 = 𝑅𝑆 𝐵𝐶 = 𝑆𝑇 𝐶𝐴 = 𝑇𝑅 𝐴𝐵≅𝑅𝑆 𝐵𝐶≅𝑆𝑇 𝐶𝐴≅𝑇𝑅 Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.

Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků Věta sss: T C ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑹𝑺𝑻 r s b a B c S A t R 𝑅𝑆 =𝑘∙ 𝐴𝐵 𝑆𝑇 =𝑘∙ 𝐵𝐶 𝑇𝑅 =𝑘∙ 𝐶𝐴 𝑘= 𝑅𝑆 𝐴𝐵 𝑘= 𝑆𝑇 𝐵𝐶 𝑘= 𝑇𝑅 𝐶𝐴 Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné.

Podobnost trojúhelníků Shodnost trojúhelníků Věta sus: T C ∆𝑨𝑩𝑪≅∆𝑹𝑺𝑻 r a s b   S B t c R A 𝑅𝑆 = 𝐴𝐵 𝑅𝑇 = 𝐴𝐶 ∢𝑇𝑅𝑆 = ∢𝐶𝐴𝐵 𝑅𝑆≅𝐴𝐵 𝑅𝑇≅𝐴𝐶 =  Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.

Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků Věta sus: C T ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑹𝑺𝑻 b a r  s B c A  S t R 𝑅𝑆 =𝑘 · 𝐴𝐵 𝑅𝑇 =𝑘 · 𝐴𝐶 ∢𝑇𝑅𝑆 = ∢𝐶𝐴𝐵 𝑘= 𝑅𝑆 𝐴𝐵 𝑘= 𝑅𝑇 𝐴𝐶 =  Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.

Podobnost trojúhelníků Shodnost trojúhelníků Věta usu: T C ∆𝑨𝑩𝑪≅∆𝑹𝑺𝑻 r a s b     S B c t R A 𝑅𝑆 = 𝐴𝐵 ∢𝑇𝑅𝑆 = ∢𝐶𝐴𝐵 ∢𝑇𝑆𝑅 = ∢𝐶𝐵𝐴 𝑅𝑆≅𝐴𝐵 = = Každé dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k ní přilehlých, jsou shodné.

Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků Věta uu: T C ∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑹𝑺𝑻 r b a s     B c S A t R ∢𝑇𝑆𝑅 = ∢𝐶𝐵𝐴 ∢𝑇𝑅𝑆 = ∢𝐶𝐴𝐵 = = Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech, jsou podobné.

} Podobnost Příklad č. 1 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐏𝐐𝐑 𝒌 = 𝟐 𝟑 1) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 =𝟗 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 =𝟔 𝒄𝒎, 𝑨𝑪 =𝟏𝟐𝒄𝒎) a PQR ( 𝑷𝑸 =𝟔 𝒄𝒎, 𝑸𝑹 =𝟒 𝒄𝒎, 𝑷𝑹 =𝟖 𝒄𝒎) podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti. 𝑨𝑩 =𝟗 𝒄𝒎 𝑷𝑸 =𝟔 𝒄𝒎 𝑩𝑪 =𝟔 𝒄𝒎 𝑸𝑹 =𝟒 𝒄𝒎 𝑪𝑨 =𝟏𝟐𝒄𝒎 𝑹𝑷 =𝟖 𝒄𝒎 } 𝒌= 𝑷𝑸 𝑨𝑩 = 𝟔 𝟗 = 𝟐 𝟑 𝒌= 𝑸𝑹 𝑩𝑪 = 𝟒 𝟔 = 𝟐 𝟑 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐏𝐐𝐑 𝒌= 𝑹𝑷 𝑪𝑨 = 𝟖 𝟏𝟐 = 𝟐 𝟑 𝒌 = 𝟐 𝟑

} Podobnost Příklad č. 2 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐌𝐍𝐎 𝒌 =𝟏,𝟓 2) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 =𝟕 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 =𝟔 𝒄𝒎, ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟒𝟖°) a MNO ( 𝑴𝑵 =𝟏𝟎,𝟓 𝒄𝒎, 𝑵𝑶 =𝟗 𝒄𝒎, ∢𝑴𝑵𝑶 =𝟒𝟖°) podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti. 𝑨𝑩 =𝟕 𝒄𝒎 𝑴𝑵 =𝟏𝟎,𝟓 𝒄𝒎 𝑩𝑪 =𝟔 𝒄𝒎 𝑵𝑶 =𝟗 𝒄𝒎 ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟒𝟖° ∢𝑴𝑵𝑶 =𝟒𝟖° } 𝒌= 𝑴𝑵 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎,𝟓 𝟕 = 𝟑 𝟐 𝒌= 𝑵𝑶 𝑩𝑪 = 𝟗 𝟔 = 𝟑 𝟐 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐌𝐍𝐎 ∢𝑨𝑩𝑪 = ∢𝑴𝑵𝑶 𝒌 =𝟏,𝟓

} Podobnost Příklad č. 3 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐗𝐘𝐙 𝒌 = 𝟏𝟏 𝟔 3) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 =𝟔 𝒄𝒎, ∢𝑩𝑨𝑪 =𝟔𝟒°, ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟖𝟐°) a XYZ ( 𝑿𝒀 =𝟏𝟏 𝒄𝒎, ∢𝒁𝑿𝒀 =𝟔𝟒°, ∢𝑿𝒀𝒁 =𝟖𝟐°) podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti. 𝑨𝑩 =𝟔 𝒄𝒎 𝑿𝒀 =𝟏𝟏 𝒄𝒎 ∢𝑩𝑨𝑪 =𝟔𝟒° ∢𝒁𝑿𝒀 =𝟔𝟒° ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟖𝟐° ∢𝑿𝒀𝒁 =𝟖𝟐° } 𝒌= 𝑿𝒀 𝑨𝑩 = 𝟏𝟏 𝟔 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐗𝐘𝐙 ∢𝑩𝑨𝑪 = ∢𝒁𝑿𝒀 ∢𝑨𝑩𝑪 = ∢𝑿𝒀𝒁 𝒌 = 𝟏𝟏 𝟔

} Podobnost Příklad č. 4 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐅𝐃𝐄 𝒌 = 𝟑 𝟒 4) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 =𝟖 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 =𝟔 𝒄𝒎, 𝑨𝑪 =𝟏𝟐𝒄𝒎) a DEF ( 𝑫𝑬 =𝟒,𝟓 𝒄𝒎, 𝑬𝑭 =𝟗 𝒄𝒎, 𝑫𝑭 =𝟔 𝒄𝒎) podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti. 𝑨𝑩 =𝟖 𝒄𝒎 𝑫𝑬 =𝟒,𝟓 𝒄𝒎 𝑩𝑪 =𝟔 𝒄𝒎 𝑬𝑭 =𝟗 𝒄𝒎 𝑪𝑨 =𝟏𝟐𝒄𝒎 𝑭𝑫 =𝟔 𝒄𝒎 } 𝒌= 𝑭𝑫 𝑨𝑩 = 𝟔 𝟖 = 𝟑 𝟒 𝒌= 𝑫𝑬 𝑩𝑪 = 𝟒,𝟓 𝟔 = 𝟑 𝟒 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐅𝐃𝐄 𝒌= 𝑬𝑭 𝑪𝑨 = 𝟗 𝟏𝟐 = 𝟑 𝟒 𝒌 = 𝟑 𝟒

} Podobnost Příklad č. 5 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐈𝐆𝐇 !!! POZOR !!! 𝒌 = 𝟓 𝟕 5) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 =𝟒𝟐 𝒎𝒎, 𝑩𝑪 =𝟔𝟑 𝒎𝒎, ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟕𝟖°) a GHI ( 𝑮𝑯 =𝟒,𝟓 𝒄𝒎, 𝑰𝑮 =𝟑 𝒄𝒎, ∢𝑮𝑯𝑰 =𝟕𝟖°) podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti. 𝑨𝑩 =𝟒𝟐 𝒎𝒎 𝑮𝑯 =𝟒,𝟓 𝒄𝒎 !!! POZOR !!! 𝑩𝑪 =𝟔𝟑 𝒎𝒎 𝑰𝑮 =𝟑 𝒄𝒎 ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟕𝟖° ∢𝑮𝑯𝑰 =𝟕𝟖° Úhel GHI leží proti straně IG (není sevřen stranami GI a GH), tj. neplatí věta sus o podobnosti trojúhelníků. } 𝒌= 𝑰𝑮 𝑨𝑩 = 𝟑𝟎 𝟒𝟐 = 𝟓 𝟕 𝒌 = 𝟓 𝟕 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐈𝐆𝐇 𝒌= 𝑮𝑯 𝑩𝑪 = 𝟒𝟓 𝟔𝟑 = 𝟓 𝟕 ∢𝑨𝑩𝑪 = ∢𝑮𝑯𝑰 Výpočtem nelze zjistit, zda trojúhelníky jsou podobné.

} Podobnost Příklad č. 6 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐊𝐌𝐋 𝒌 nelze určit 6) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( ∢𝑩𝑨𝑪 =𝟓𝟒°, ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟗𝟔°) a KLM ( ∢𝑴𝑲𝑳 =𝟓𝟒°, ∢𝑲𝑳𝑴 =𝟑𝟎°) podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti. ∢𝑩𝑨𝑪 =𝟓𝟒° ∢𝑴𝑲𝑳 =𝟓𝟒° ∢𝑨𝑩𝑪 =𝟗𝟔° ∢𝑲𝑳𝑴 =𝟑𝟎° ∢𝑩𝑪𝑨 =𝟑𝟎° ∢𝑳𝑴𝑲 =𝟗𝟔° } ∢𝑩𝑨𝑪 = ∢𝑴𝑲𝑳 ∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐊𝐌𝐋 ∢𝑩𝑪𝑨 = ∢𝑲𝑳𝑴 ∢𝑨𝑩𝑪 = ∢𝑳𝑴𝑲 𝒌 nelze určit