Deterministický chaos

Fázové trajektorie systému 2, řádu s komplexními kořeny – lineární oscilátor

Jednoduché kyvadlo bez tření Přirozená frekvence

Dynamika kyvadla Podle 2. zákona Newtonova Po úpravě Po Nelineární systém (sin θ). Pro male odchylky (výkyvy) sinθ  θ a systém můžeme považovat za lineární Pro θ  70

Rovnice kyvadla Řešení – závislost úhlu vychýlení na čase θ(t) = A cos (0 t + φ) Fázová trajektorie t [s]

Chování kyvadla v celém oboru výchylek Bod A(0,0) lokálně stabilní rovnovážný stav Bod B(0,π) nestabilní rovnovážný stav

Systém vyššího řádu – dvojité kyvadlo Velké výchylky Malé výchylky

Kyvadlo zavěšené na pružině

Ekosystém – Verhulstova logistická rovnice (též Volterra Lotka) Xn …relativní počet jedinců určitého druhu (1-xn) …vliv okolí (predátoři) r…..řídicí parametr - rychlost růstu populace Pro velmi malý počet jedinců lze kvadratický člen zanedbat a předpokládat lineární růst populace

Bifurkace Bifurkační diagram pro r < 3 dynamická rovnováha Pro r > 3 střídání dvou stavů

Chování systému popsaného logistickou rovnicí r = 2,5 r = 3,25 r = 3,5 r = 4 (chaos)

Jak zjistíme, že jde o chaotický systém? Posoudíme jeho závislost na počátečních podmínkách Vývoj diference mezi trajektoriemi pro r=3,64 a x0= 0,5 a x0 = 0,5001 (logistická rovnice)

Citlivost na změnu parametrů k rk 1 3.000000 2 3.449488 3 3.544092 4 3.564408 5 3.568760 6 3.569692 7 3.569892 8 3.569936

Samopodobnost Zdvojení periodicity vypadá podobně nezávisle va měřítku

Lorenzovo „vodní kolo“ Jeden z prvních podivných atraktorů

Lorenzův model konvektivního proudění v atmosféře Railegh – Bénardova nestabilita

Bénardova- Raileighova nestabilita

Fotografie B-R buněk

Lorenzovy rovnice - matematický model x….rychlost proudění y….teplotní diference mezi stoupavým a klesavým tokem z…teplotní diference mezi hranicemi vrstvy, ve které probíhá proudění σ, r, b, konstanty Lorentzův atraktor

Mandelbrotovy otázky Jakou dimenzi má klubko provázku? (3d) Když ho ale rozmotáme má 1d Sestává z vláken, která se rozpadají v body s dimenzí 0 Richardson - jaká je délka pobřeží Britanie? Závisí na použité jednotce měření.

IBM - Analýza šumu na základě podobnosti s Cantorovým diskontinuem –“Cantorův prach“ (Cantorovo mračno).

Kochova vločka (hvězdička)

Sierpinského trojúhelník

Mengerova Houba Nekonečně velký povrch ale nekonečně malý objem

Fraktální dimenze U nefraktálních objektů se zmenšováním délky měřidla (jednotky) se blížíme nějaké limitě U fraktálních objektů délka neustále roste (Richardsonův efekt) Neceločíselné dimenze

Hausdorfova dimenze Máme rozdělit úsečku na N stejných dílů Délka jednoho dílu r = 1/N Rozdělit čtverec na 25 stejných dílů „Délka“ jednoho dílu r = 1/N2 Rozdělit krychli na 125 stejných dílů „Délka jednoho dílu r = 1/N3 Obecně r = 1/ND Kde d je tzv. topologická dimenze

Vyjádříme dimenzi N označujeme jako faktor změny délky r jako faktor změny měřítka

Příklad Kochova křivka Při každé transformaci délka se změní na 1/3 Počet samopodobných úseků N = 4 D = log 4 / log 3 = 1.2618 D ….. Fraktální dimenze

Sierpinského trojúhelník

Praktické použití Nůžkový mechanismus odpružené sedačky řidiče

Atraktor a časové průběhy

L – Systémy Aristid Lindenmayer + Karel Čulík Struktury generované pomocí gramatik (původně model buněčného růstu) Gramatika G = <VN, VT, P, S> GCantor=[V,P,S] V={F,G} P={F→FGF, G→GGG} S=F

Generování jednoduchých stromových struktur

Palmy generované pomocí L - systému

Krajina generovaná pomocí L - systému

Aplikace deterministického chaosu Analýza EEG, EKG Únava řidiče Analýza chování elektrických obvodů Kódování Modulace

Analýza EEG

Analýza elektrických obvodů Chuův oscilátor Zapojení Chuova oscilátoru Chuův atraktor

Komunikační aplikace Superpozice chaotického signálu Chaotické klíčování (moduluje se nějaký parametr chaotického systému) Fraktální komprese obrázku (nalezení formálního popisu atraktoru generujícího daný obrázek)