Kvadratické nerovnice - grafická metóda Mgr. Mihályi Juraj ZSŠ v Štúrove Aprobácia: matematika- fyzika

Návod na použitie prezentácie Prezentácia je riadená užívateľom (kliknutie myšou znamená posun prezentácie) podľa jeho požiadaviek na čas, potrebný na jednotlivé kroky Pozorne treba prečítať komentáre a návody, svedomite vyriešiť príklady Do obsahu prezentácie nie je možné zasahovať Príjemné štúdium Vám prajem!

Obsah Cieľ prezentácie Opis témy Druhy kvadratických nerovníc Opis grafickej metódy Prezentácie vlastnej metódy s príkladmi Záver Použitá literatúra a linky

Cieľ prezentácie: Téma, kvadratické nerovnice robí problémy takmer všetkým žiakom, najmä finalizácia riešenia, t. z. mechanizmus zvládnu s radosťou, ale určiť výsledok podľa grafu už väčšina žiakov nerobí, alebo nerobí dobre. Práve z toho dôvodu chýba v prezentácii toto mechanizmus a kladie sa dôraz na správnu interpretáciu údajov grafu.

Opis témy Téma nasleduje v učive 1. ročníka študijných odborov ZSŠ ihneď po tematickom celku: kvadratické funkcie a rovnice. To znamená, že žiaci vedia načrtnúť parabolu s rôznymi koeficientami a vedia riešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu, pokiaľ reálne riešenie existuje. Tieto vedomosti využijú naďalej a namiesto doterajších výsledkov diskrétneho typu sa naučia počítať aj výsledky typu intervalového

Aké sú to nerovnice? Ukážeme druhy kvadratických nerovníc:

Najlepší prípad: Ak príslušná kvadratická rovnica má reálne riešenia, vypočítame ich:

Ukážka konkrétneho príkladu

Ako ďalej? Takto:

Kreslenie grafu 1. graf y -2 4 x

Keďže ľavá strana nerovnice je reprezentovaná parabolou na obrázku, hľadáme oblasť, v ktorej je parabola menšia, alebo rovná nule. Príslušnú úsečku na osi „x“ môžeme považovať za riešenie kvadratickej nerovnice. Píšeme ho v tvare intervalu:

Ak je v nerovnici ostrá nerovnosť, interval je otvorený Ak je v nerovnici neostrá nerovnosť, interval je uzavretý, ako v predošlom príklade

Príklad na precvičovanie Vyriešte nerovnicu v množine R až do fázy hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie:

Výpočty:

Hotový náčrt Parabola typu „ „ vrcholom nad osou „x“

SKÚŠKA!!!!.... Pre istotu sa oplatí dosadiť nejaké číslo z množiny „P“ do nerovnice a zistiť pravdivosť. (Niekedy je jednoduchšie dosadiť také číslo, ktoré v množine „P“ nie je, tým pádom samozrejme dostanete po dosadení nepravdivý výrok.)

Ďalšie typy kvadratických nerovníc: Riešte graficky nerovnicu: v množine R. Príklad urobte sami až do fázy hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie!

Hotový graf... Tvrdenie výrokovej formy: Parabola má nezápornú časť nad osou „x“ a na osi „x“. Z toho vyplýva, že príslušná časť osi „x“ sa dá napísať úniou dvoch intervalov:

Poznámka... V prípade ostrej nerovnosti sú intervaly otvorené!

Príklady na precvičovanie: Najprv vyriešte nasledovné príklady v množine R, potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie:

Zhrnutie výsledkov:

Čo sa stane, ak D=0 ???? Ak D=0, potom kvadratická rovnica má práve jedno reálne riešenie, čiže parabola sa dotýka osi „x“ v tom čísle, ktoré je riešením rovnice. To znamená, že celá parabola ( ktorá reprezentuje ľavú stranu upravenej nerovnice ) je . Ak to porovnáme s požiadavkou nerovnice (tvrdením výrokovej formy ), ľahko nájdeme riešenie.

Príklad Riešte v množine reálnych čísel nerovnicu: Z grafu vidíme, že požiadavke nerovnice vyhovuje jediný bod paraboly, x=2 .

Ak kvadratická rovnica nemá reálne riešenie, potom parabola, ktorá ju reprezentuje, musí byť nad osou „x“ (a>0), alebo pod osou „x“ (a<0). Riešenie kvadratickej nerovnice je v tomto prípade , alebo

D=-7 P=(-∞;∞) Dôvod: Celá parabola je kladná: tvrdeniu nerovnice vyhovuje celá os „x“.

D=-16 Riešenie: P={ } Dôvod: Žiadna časť paraboly nie je ≤ 0, lebo celá parabola je nad osou „x“, teda je kladná.

Využitie kvadratických nerovníc: Často sa stretávame s problémom určenia definičného oboru rôznych funkcií, kde treba riešiť kvadratické nerovnice, napríklad:

Ďalej... Kvadratická nerovnica je často súčasťou inej, zložitejšej rovnice, resp. nerovnice:

Z praktických problémov uvediem len jeden z oblasti balistiky: Z plošiny veže vo výške 108m vystrelili vodorovne projektil o 12.h 20 min. Určte časový interval, v ktorom sa bude projektil pohybovať vo výške vyššej, ako 10m nad pätou veže. ( okolnosti, ktoré kladú odpor pohybu projektilu, zanedbáme )

Jedná sa o pohyb, ktorý je zložený z rovnomerného priamočiareho pohybu a z voľného pádu: Náčrt situácie:

Po preložení do „reči“ matematickej: Jedná sa o riešenie nerovnice:

Po vypočítaní: Nakoľko nás zaujíma nezáporný časový interval, upravíme výsledok na :

Po porovnaní s počiatočnými podmienkami môžeme dať odpoveď: Projektil sa bude pohybovať vo výške väčšej, ako 10m nad pätou veže v čase od 12:20:00 do 12:20:4,43. Ak berieme do úvahy aj rýchlosť vystreleného projektilu, môžeme vypočítať, v akej vzdialenosti dopadne na zem, čo je veľmi dôležité z hľadiska zabezpečenia takéhoto „pokusu“.

Ako matematika vo všeobecnosti... aj riešenie kvadratických nerovníc rozvíja myslenie žiakov, napomáha ku komplexnej analýze zložitých problémov. Kto vie narábať s týmito detailmi, lepšie obstojí aj vo svete komplikovaných reálnych situácií.

Použitá literatúra a linky Jirásek F.: Zbierka úloh z matematiky pre SOŠ a študijné odbory SOU, 1. časť, Bratislava 1987 www.google.sk

KONIEC