KMT/DIZ1 POJEM DEFINICE (pojmotvorný proces, pojmová mapa) (typy definic, chyby v definicích) SZZK – otázka č.7 Logická organizace matematické látky Květoň, Luhan, Hejný-Kuřina, 25kapitol

= druh procesu abstrakce fáze procesu: (1.) motivace (2.) představa Pojmotvorný proces = druh procesu abstrakce fáze procesu: (1.) motivace (2.) představa (3.) pojem (4.) definice (5.) osvojení a zobecnění pojmu induktivní x deduktivní zavedení pojmu ve výuce (podobnost x kvadratická rovnice) deduktivní zavedení motivace – pomocí reálné skutečnosti, vyvolání touhy po poznání představa – obdoba vjemu, názorná, méně živá, chudší na podrobnosti, hlavní vlastnosti předmětu zůstávají, pojem – forma myšlení odrážející podstatné vlastnosti předmětů a jevů, nenázorný, abstraktní, hlubší obraz skutečnosti definice – spojení pojmu se slovy – termín, předpis, podle něhož lze rozhodnout, zda objekt patří do rozsahu daného pojmu osvojení a zobecnění pojmu – začlenění pojmu do soustavy pojmů, procvičení,

Pojmotvorný proces (Hejný) fáze procesu: (1.) synkretická f. – zážitky ze skutečnosti, vyčleňování vlastností a skutečností asociovaných s budovaným pojmem (2.) f. předmětných představ – diferenciace, manipulace (3.) f. intuitivně-abstraktních představ – manipulace přejde v myšlenkovou operaci (4.) f. strukturální – pojem se stává součástí struktury 3

= znázornění vazeb mezi různými pojmy postup Pojmové mapy = znázornění vazeb mezi různými pojmy postup (1.) zápis slov souvisejících s pojmem (2.) řazení do souvislostí tvorba nových myšlenek podpora kreativity brainstorming nástroj zvyšující efektivitu učení neúplná mapa programy na tvorbu map – XMind, http://www.upol.cz/fileadmin/user_upload/PdF-katedry/KMT/Chalupova.pps#7

Převzato z <http://virtuniv.cz/images/3/3d/Friedrich_moodle.pdf>

Pojmové mapy http://www.upol.cz/fileadmin/user_upload/PdF-katedry/KMT/Chalupova.pps#14 Převzato z <http://www.upol.cz/fileadmin/user_upload/PdF-katedry/KMT/Chalupova.pps#14 >

(typy definic, chyby v definicích) KMT/DIZ1 DEFINICE (typy definic, chyby v definicích) SZZK – otázka č.7 Logická organizace matematické látky Květoň, Luhan

Co se definuje (působnost definic) pojmy, které nejsou základní základní (primitivní) pojmy – zavádí se pomocí axiomů (=implicitní definice) – na ZŠ vytváření představ o základních pojmech (bod, přímka, rovina, číslo, množina) axiomy implicitní definice základních pojmů Dvěma body A různ. od B prochází jediná přímka. Mají-li dvě roviny společný bod, mají společnou i průsečnici. syntetická implicitní definice. základní pojmy se nezavádějí definicí, ale nepřímo, abstrakcí, tak jak vznikaly. bod – tečky, vzdálené objekty, hvězdy, jak ho označíme

definice popisem konstrukce kontextuální definice induktivní definice Typy definic analytická definice syntetická definice definice popisem konstrukce kontextuální definice induktivní definice ekvivalentní definice ad1 formálně-logická d., aristotelovská d., d. specializací V množině A jsou prvky, které mají a které nemají vlastnost V, V definuje rozklad A na dvě třídy, pomocí vlastnosti V lze definovat množinu B jako podmnožinu B  A = definice pomocí rodového/nadřazeného pojmu A (pravoúhelník) a druhového znaku V (rovnostrannost). problém z jakého pojmu se má vyjít př. Čtverec je pravoúhelník se shodnými sousedními stranami. př. Čtverec je rovnoběžník se shodnými sousedními stranami a s pravým úhlem. nejkratší a nejjednodušší definice obsahuje nejprostší charakteristickou vlastnost. definovaná množina se vyjadřuje jako podmnožina minimální množiny (minimální definice). LOGICKY a METODICKY vhodné – jen minimální definice souvislost s důkazem existence pojmu – na ZŠ se provede důkaz konstrukcí (pravoúhlý trojúhelník) ad 2 a 3 pro spojení známých pojmů zavádí nové jméno patří sem konstruktivní či genetické definice popisující vytvoření definovaného objektu d. abstrakcí mezi objekty jisté množiny existuje jistý vztah (ekvivalence), který je společný všem prvkům. Společná vlastnost je vymezena tímto vztahem ad 5 d. kontextuální pojem je zaveden v souvislosti s dalším pojmem, logaritmus, odmocnina ad6 d. induktivní definice celých tříd objektů (formule výrokového kalkulu, formule predikátového kalkulu, formule teorie množin) stanovení výchozích prvků formulace pravidel tvoření nových prvků prvky vytvořené těmito dvěma způsoby vyčerpají definovanou třídu, žádné jiné prvky nepatří do definované třídy

= d. specializací jiného pojmu, formálně-logická d., aristotelovská d. Analytická definice = d. specializací jiného pojmu, formálně-logická d., aristotelovská d. př. Čtverec je pravoúhelník se shodnými sousedními stranami. vyčlenění vlastnosti V (rovnostrannost) d. pomocí rodového pojmu (pravoúhelník) a druhového znaku (rovnostrannost) metodicky vhodná, zejména tzv. minimální definice ad1 formálně-logická d., aristotelovská d., d. specializací V množině A jsou prvky, které mají a které nemají vlastnost V, V definuje rozklad A na dvě třídy, pomocí vlastnosti V lze definovat množinu B jako podmnožinu B  A = definice pomocí rodového/nadřazeného pojmu A (pravoúhelník) a druhového znaku V (rovnostrannost). problém z jakého pojmu se má vyjít př. Čtverec je pravoúhelník se shodnými sousedními stranami. př. Čtverec je rovnoběžník se shodnými sousedními stranami a s pravým úhlem. nejkratší a nejjednodušší definice obsahuje nejprostší charakteristickou vlastnost. definovaná množina se vyjadřuje jako podmnožina minimální množiny (minimální definice). LOGICKY a METODICKY vhodné – jen minimální definice souvislost s důkazem existence pojmu – na ZŠ se provede důkaz konstrukcí (pravoúhlý trojúhelník)

v d. se spojují známé pojmy Syntetická definice v d. se spojují známé pojmy většinou se jí zavádí nový termín (pojmenování) př. Přímka, která má s kružnicí jediný společný bod, se nazývá tečna kružnice. př. Přímky jsou rovnoběžné, leží-li ve stejné rovině a buď nemají žádný společný bod, nebo mají všechny body společné. ad 2 a 3 pro spojení známých pojmů zavádí nové jméno patří sem konstruktivní či genetické definice popisující vytvoření definovaného objektu

Definice postupem konstrukce = d. konstruktivní, d. genetická někdy se řadí k syntetickým definicím př. Nechť je dána rovina  a v ní kružnice k, dále nechť p je přímka, která není s rovinou  rovnoběžná. Množina všech přímek rovnoběžných s přímkou p a protínajících kružnici k je kruhová válcová plocha. př. Středová souměrnost. př. Definice čísla e. ad 2 a 3 pro spojení známých pojmů zavádí nové jméno patří sem konstruktivní či genetické definice popisující vytvoření definovaného objektu

Definice kontextuální pojem je definován v souvislosti s jinými pojmy př. Logaritmus čísla a o základu z je mocnitel, jímž musíme umocnit základ z, abychom dostali dané číslo a, tj. . př. Přímky ležící ve stejné rovině jsou rovnoběžné, jsou-li kolmé k téže přímce. ad 4 mezi objekty jisté množiny existuje jistý vztah (ekvivalence), který je společný všem prvkům. Společná vlastnost je vymezena tímto vztahem ad 5 pojem je zaveden v souvislosti s dalším pojmem, logaritmus, odmocnina

Definice induktivní d. na základě m. indukce hodnota definovaného pro 1 hodnota definovaného pro n+1 př. determinant definování tříd objektů 1. stanovení výchozích prvků definované třídy 2. formulace pravidel tvoření nových prvků 3. vytvořené prvky vyčerpají definovanou třídu př. FVK, FPK, FTM, algebraický výraz ad6 definice celých tříd objektů (formule výrokového kalkulu, formule predikátového kalkulu, formule teorie množin) stanovení výchozích prvků formulace pravidel tvoření nových prvků prvky vytvořené těmito dvěma způsoby vyčerpají definovanou třídu, žádné jiné prvky nepatří do definované třídy

úzká definice - uvedeno více vlastností Chyby v definicích nadbytečná definice - uvedeny závislé vlastnosti př. Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné a shodné. široká definice - uvedeno méně vlastností, než je potřeba k vymezení pojmů (jen nutná podmínka k vymezení pojmu) úzká definice - uvedeno více vlastností definice kruhem - pojem se definuje pomocí jiného, který je definován pomocí definovaného pojmu definice tautologií ad 1 je v ní více znaků definovaného pojmu než bylo nutné nakresli schéma (podmnožiny) METODIKA – nadbytečné d. nevadí, potlačují však logické myšlení dětí ad. 2 definice obsahuje méně vlastností než je potřeba k vymezení pojmu. pravidelný šestiúhelník , ad 3 lze na ZŠ – pozdější náprava je možná př. iracionální číslo, goniometrické funkce ad3. – asi zahrnuje i případ, kdy definice nic nedefinuje (definice – protiřečení) ad4 jeden pojem se definuje pomocí druhého a druhý pojem pomocí prvního, např. pravý úhel, ad5 podobné útvary METODIKA – každé slovo v definici je důležité Ž se podílí na formulaci definice známého pojmu. Lépe vlastními slovy, než mechanicky z paměti. slovo definice neužíváme, požadujeme sdělení Co je to? !metodika opravování chyb v definicích – nepsat správně, dovést je k tomu.

1. popisuje pojem (vlastnosti charakteristické pro pojem) Definice = předpis, podle něhož lze rozhodnout, zda objekt patří či nepatří do rozsahu daného pojmu. 1. popisuje pojem (vlastnosti charakteristické pro pojem) 2. pomocí dříve zavedených pojmů 3. nutné a postačující vlastnosti pro přesné určení definovaného pojmu = vysvětlení pojmu (na ZŠ) př. Příklady definic nematematických pojmů a kde je najdeme? výkladové slovníky terminologické slovník právnická literatura, sbírky zákonů předpisy smlouvy

(klasifikace R. Robinson, převzato z [Luhan]) Definice definice reálné nominální syntaktické sémantické induktivní implicitní analytické syntetické (klasifikace R. Robinson, převzato z [Luhan]) [Luhan] reálné – definice reálných předmětů a jevů nominální – definice myšlených pojmů – jen tyto jsou v matematice syntaktické – umožňují nahradit znak znakem, termín, termínem induktivní – definují pojmy vytvářené z výchozích pojmů na základě vytvářejících pravidel implicitní - zavádějí pojmy nepřímo, definice prostřednictvím axiomů, základní matematické pojmy sémantické – vymezují obsah zaváděné pojmu analytické – definovaný pojem – vycházíme z něj a objasňujeme ho pomocí pojmů známých, pomocí rodového pojmu syntetické – spojením známých pojmů syntaktická induktivní – geometrická posloupnost syntaktická implicitní – základní pojmy sémantická analytická – kosočtverec – rovnoběžník se shodnými stranami a kosými úhly sémantická syntetická – kosočtverec – sjednocení dvou rovnoramenných trojúhelníků – obrazy ve středové souměrnosti. 17