Logaritmická funkcia Mgr. Jozef Vozár 2007

Definícia Logaritmickou funkciou so základom z > 0 z<>1, budeme nazývať inverznú funkciu k exponenciálnej funkcii y = zx . Symbolicky f: y = logz x

D(f)= R+ H(f) = R Grafom funkcie je logaritmická krivka

Vzťah medzi exponenciálnou a logaritmickou funkciou Odvodenie: f: y = zx f-1 : x = zy Vyjadríme y, aby sme mohli obidve funkcie zakresliť v tej istej súradnicovej sústave. Tento proces pri tejto funkcii nazývame logaritmovanie f-1 : y = log z x

Definícia logaritmu Z toho vyplýva že: x = zy y = log z x x = (z)logzx

Vytvorenie grafu : najprv graf exponenciálnej funkcie

Potom os 1. a 3. kvadrantu

V osovej súmernosti nakreslíme graf logaritmickej funkcie

Vytvorenie grafu : najprv graf exponenciálnej funkcie

Potom os 1. a 3. kvadrantu

V osovej súmernosti nakreslíme graf logaritmickej funkcie

Vlastnosti logaritmov logz z = 1 , pretože z1 = z logz 1 = 0, pretože z0 = 1 logz z2 = 2 logz z0,5 = 0,5

Vety o logaritmoch pre prípustné hodnoty a,b,z logz a.b = logz a + logz b logz a/b = logz a - logz b logz an = n. logz a logz n√a = 1/n. logz a

Zmena základu logaritmu Zmena zo základu z na základ x logx a logz a = –––––-- logx z Pozri príklad

Dôkaz logz a/b = logz a - logz b a/b = zlogza/b a = zlogza b = zlogzb a/b = zlogza /zlogzb zlogza/b = zlogza /zlogzb = zlogza - logzb teda logz a/b = logz a - logz b q.e.d.

Riešenie rovníc Pri riešení logaritmických rovníc využívame , 1. že logaritmická funkcia je prostá: logz a = logz b a = b 2. vety o logaritmoch

Pozor, pri logaritmických rovniciach Príklad č.1 logz (x + 3) = logz (2x - 2) x + 3 = 2x – 2 x = 5 Pozor, pri logaritmických rovniciach treba robiť skúšku! logz (5 + 3) = logz (10 - 2)

Príklad č.2 log2 (x + 14) + log2 (x + 2) = 6

Riešenie P2 log2 (x + 14).(x + 2) = log2 26 (x + 14).(x + 2) = 64 x2 + 16x – 36 = 0 x 1= 18 , x 2 = - 2 S: log2 (18 + 14) + log2 (18 + 2) = 6 log2 (-2 + 14) + log2 (-2 + 2) <> 6 Koreňom je len x 1= 18

Príklad č.3 log(4x + 2) - log(3 - x) = 1

Riešenie P3 4x + 2 log ––––––- = log 10 3 – x ––––––- = 10 4x+2-30+10x = 0 3 – x 14x = 28 x = 2

Príklad č.4 x 2logx - 1 = 100x2 / log

(2logx – 1).log x = log 100 + 2log x Riešenie P4 (2logx – 1).log x = log 100 + 2log x 2log2x – log x – 2log x – 2 = 0 t = log x 2t2 – 3t – 2 = 0 t 1 = 2, t2 = -1/2

Riešenie P4 log x = 2 x = 100 log x = -1/2 x = 10-1/2

Príklad č.5 1 + log x3 = 10/log x

Riešenie P5 1 + 3 log x = 10/log x log x = t 1 + 3t – 10/t = 0 t1 = 10/6 = 5/3 log x 5/3, x = 105/3 t2 = -2 log x = -2, x = 10-2

Príklad č.6 log16 x + log4 x + log2 x = 7

Riešenie P6 log16 x = log2 x/log2 16 = log2 x/4 pozri na zmenu základu

Riešenie P6 log16 x + log4 x + log2 x = 7