Metóda Konečných Prvkov vo výrobných technológiach prednáška č. 8

Obsah prednášky Úloha vedenia tepla v MKP Teoretické podklady Bilančná rovnica prenosu tepla Spôsoby prenosu tepla Vnútorný zdroj tepla Energia akumulovaná v systéme Diferenciálna rovnica vedenia tepla Začiatočné podmienky Okrajové podmienky Funkcionál tepelnej energie

Obsah prednášky Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Diskretizácia telesa Tvarové funkcie Minimalizácia funkcionálu Maticový zápis minimalizovaného funkcionálu Jednorozmerná úloha prenosu tepla vedením Dvojrozmerná úloha prenosu tepla vedením Príklad

Úloha prenosu tepla stanovenie teplotného poľa T(x,y,z,t) ([K],[°C]) v bodoch sledovanej oblasti pri zachovaní predpísaných začiatočných a okrajových podmienok teplotné pole: - stacionárne pole (steady state) - nestacionárne pole (transient analysis) skalárne pole

Teoretické podklady Bilančná rovnica prenosu tepla: zo zákona zachovania energie Ein + Eg = Eout + Eie [J] kde Ein je tepelná energia vstupujúca do systému, Eg je tepelná energia generovaná v systéme, Eout je tepelná energia vystupujúca zo systému, Eie je zmena vnútornej energie systému podelením rovnice prírastkom času Dt dostaneme bilančnú rovnicu tepelných výkonov (tokov – heat flow) Pin + Pg = Pout + Pie [W]

Teoretické podklady Spôsoby prenosu tepla: vedením – kondukcia prúdením – konvekcia žiarením – radiácia Nevyhnutnou podmienkou pre existenciu prenosu tepla je existencia teplotného spádu. (Druhý termodynamický zákon)

Teoretické podklady Prenos tepla vedením: Vedenie je prenos tepla v prostredí, ktorého častice sa v smere tepelného toku nepohybujú. Tepelný tok (heat flow) v smere osi x popisuje Fourierov zákon vedenia tepla kde  - tepelná vodivosť materiálu [W.m-1.K-1], A - plocha kolmá na smer vedenia tepla, q - hustota tepelného toku (heat flux) P T1 T2 l x

Teoretické podklady Prenos tepla prúdením: Teplo sa šíri prúdením z pevného do okolitého hmotného prostredia. Prúdenie, vyvolané iba rozdielom teplôt v tekutine – voľné prúdenie. Prúdenie, vyvolané vonkajšími silami (rozdielom tlakov v tekutine) – nútená konvekcia. kde h - koeficient prestupu tepla [W.m-2.K-1], Tr - teplota okolia [K] Ts – povrchová teplota [K], A – teplovýmenná plocha [m-2] q, h, Tr Ts, A

Teoretické podklady Prenos tepla žiarením: Teplo sa šíri prúdením medzi dvoma pevnými plochami. Je jediným spôsobom prenosu tepla medzi dvoma telesami vo vákuu. kde s – Stefanova-Bolzmannova konštanta [5,67e-8 W.m-2.K-4], Tr - teplota okolia (referenčná), A – vyžarujúca plocha, e – emisivita povrchu telesa (e = 0 biele, e = 1 čierne) P, Tr T, A, 

Teoretické podklady Vnútorný zdroj tepla: Tepelnú energiu generovanú vnútorným zdrojom (napr. Jouleovo teplo) možno určiť zo vzťahu kde q – merný výkon tepelného zdroja [W.m-3], V – objem telesa vyžarujúceho teplo [m-3], Pg – tepelný výkon vnútorného zdroja [W] Viaceré tepelné zdroje sú teplotne závislé, čo spôsobuje ďalšie komplikácie pri výpočte teplotného poľa. .

Teoretické podklady Energia akumulovaná v systéme: Pre zmenu vnútornej energie platí kde r – hustota látky [kg.m-3], c – merná tepelná kapacita [J.kg-1.K-1], V – objem telesa akumulujúceho teplo, T – teplota telesa T  t – časová zmena teplotného poľa [K.s-1] Pie – tepelný výkon akumulovaný v telese [W]

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Všeobecné rovnice pre 3D úlohu: Bilančná rovnica pre element telesa dV = dxdydz P(x+dx) P(x) P(y) P(y+dy) P(z+dz) P(z) Ay = dxdz Ax = dydz Az = dxdy Pg x y z

Diferenciálna rovnica vedenia tepla tepelný tok Px privedený na stenu elementu Ax = dydz sa odvedie do vnútra vedením odvedený tok v smere x Podobne to platí pre osi y a z

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Po dosadení do bilančnej rovnice dostaneme základnú diferenciálnu rovnicu vedenia tepla Pre izotrópny materiál  =  x =  y =  z Pre stacionárne úlohy je pravá strana rovnice rovná nule. Ak neexistuje vnútorný zdroj tepla (q = 0) dostaneme Poissonovu parciálnu diferenciálnu rovnicu (vyskytujúcu sa napr. i pri riešení elektrického potenciálového poľa) .

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Podmienky jednoznačnosti pre riešenie DR vedenia tepla aj pomocou MKP je potrebné definovať podmienky jednoznačnosti geometrické fyzikálne začiatočné okrajové

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Začiatočné a okrajové podmienky: Vo všeobecnosti je rovnica vedenia tepla diferenciálnou rovnicou druhého rádu závislou na čase. Preto na jej riešenie treba stanoviť začiatočnú podmienku a okrajové podmienky (OP). Začiatočná podmienka obvykle vyjadruje začiatočnú teplotu v bodoch telesa

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Okrajové podmienky: druhu - Dirichletova predpísaná teplota na časti povrchu A1 2. druhu - Neumanova hustota tepelného toku q [W.m-2] privedeného na časť povrchu telesa A2 sa odvedie do vnútra telesa vedením

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Okrajové podmienky: 3. druhu - Fourierova hustota tepelného toku q [W.m-2] privedeného telesom na časť povrchu A3 sa odvedie do okolia ako tepelný tok prúdením s teplotou okolia Tr a súčiniteľom prestupu tepla konvekciou h 4. druhu popisuje podmienky pri dokonalom kontakte dvoch telies

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Okrajové podmienky: 5. druhu – Stefanova definuje podmienky pri prenose tepla s pásmom fázovej premeny

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Problém nájdenia rozloženia teploty vychádza z riešenia rovníc: pri zohľadnení začiatočných a okrajových podmienok. Pri použití variačného princípu (princíp virtuálnych prác) problém rozloženia teploty T(x,y,z,t) minimalizáciou funkcionálu (zohľadnenie OP vyjadruje pravá strana rovnice)

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Teleso s objemom V0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových bodov (nodes) s plochami A1, A2, A3 s aplikovanými OP Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty uzlových bodov prvku matica tvarových funkcií: vektor teplôt v uzlových bodoch elementu:

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Funkcionál popisujúci prenos tepla cez celú oblasť nahradíme súčtom funkcionálov (rovnakého tvaru) jednotlivých elementov pričom

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Minimalizáciou funkcionálu  kde m je počet uzlov s neznámou teplotou dostaneme neznáme teploty v uzlových bodoch.

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Minimalizovaný funkcionál (e) Pozn. Plošné integrály na pravej strane rovnice sa v nej nebudú vyskytovať ak i-ty uzol neleží na plochách A2 alebo A3.

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Minimalizovaný funkcionál (e) obsahuje predstavuje časovú zmenu teplotného poľa v uzlových bodoch

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Minimalizovaný funkcionál (e) v maticovom tvare obsahuje: maticu teplotnej vodivosti

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP maticu konvekcie maticu tepelnej kapacity vektor tepelných tokov od vnútorného zdroja, vedenia a konvekcie

Jednorozmerná úloha vedenia tepla Uvažujme dvojuzlový čiarový prvok kruhového prierezu (s priemerom d ), ktorý prenáša teplo vedením a generuje sa v ňom Jouleovo teplo (vnútorný zdroj tepla - napr. spôsobený prechodom elektrického prúdu). Teplota v mieste x

Jednorozmerná úloha vedenia tepla matica teplotnej vodivosti – pre jednorozmerný prvok

Jednorozmerná úloha vedenia tepla matica konvekcie - voľná konvekcia z povrchu do okolia

Jednorozmerná úloha vedenia tepla vektor tepelného toku - transformovaný do uzlových bodov s uvažovaním iba konvekcie a generovaného Jouleovho tepla

Jednorozmerná úloha vedenia tepla Rovnice prenosu tepla - pre jednorozmerný prútový prvok - majú maticový tvar a po dosadení:

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla Uvažujme úlohu prenosu tepla pre dvojrozmerné teleso všeobecného tvaru (tretí rozmer telesa je rovný 1). Diferenciálna rovnica vedenia tepla pre stacionárnu teplotnú sústavu má tvar:

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla Teleso s objemom V0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových bodov (nodes) s plochami A1, A2, A3 s aplikovanými OP Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty uzlových bodov prvku matica tvarových funkcií: vektor teplôt v uzlových bodoch elementu:

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla