Nepriama úmernosť ISCED 2

Príklad ako poznáme nepriamu úmernosť zo 7. ročníka Traja maliari vymaľujú budovu za 120 hodín. Koľko maliarov vymaľuje budovu za 90 hodín? x y 3 maliari .......................................120 hod x maliarov ......................................90 hod x : 3 = 120 : 90 90x = 3 . 120 90x = 360 x = 4 Za 90 hod vymaľuje budovu 4 maliari. A teraz sa pozrieme na nepriamu úmernosť inak, ale budeme vychádzať z tohto príkladu. V každom príklade budú vystupovať dve veličiny, ktoré označíme x a y. V tomto príklade sú to počet maliarov(x) a čas(y).

Nepriamu úmernosť si budeme vyjadrovať tiež 3 spôsobmi: TABUĽKA ROVNICA GRAF Budeme vytvárať tabuľku, rovnicu, graf a vyjadrovať vzťah medzi nimi...

TABUĽKA Počet maliarov x Čas y 1 2 3 4 5 6 360 180 120 90 72 60 Za veličinu x (počet maliarov) si zvolíme ľubovoľné čísla, snažíme sa čím najjednoduchšie. Aj počet čísel môže byť ľubovoľný, ak nie je daný počet. Teraz sme vybrali čísla od 1 po 6. Z príkladu vieme, že 3 maliari vymaľujú budovu za 120 hod. Najdôležitejšie je zistiť, za aký čas vymaľuje jeden maliar. Jeden maliar ..... 120 . 3 = 360 hod (jednému to bude trvať 3-krát dlhšie ako trom maliarom) A dopočítame ostatné hodnoty y: 360:2=180, 360:4=90, 360:5=72, 360:6=60 Čiže 2 maliari vymaľujú za 180 hod a tak ďalej. (Pozor, kedy násobíme a kedy delíme, presne opačne ako pri priamej úmernosti) Veľmi dôležitý je údaj, za aký čas sa vymaľuje jeden maliar, čiže 360 hod. Pomocou neho môžeme jednoducho vypočítať všetky ostatné údaje v tabuľke. Budeme ho nazývať konštanta a označovať k. k = 360

ROVNICA Tabuľka obsahuje 2 veličiny (prvý riadok x, druhý riadok y), tak aj rovnica musí obsahovať 2 veličiny (x,y). (Pozor, pri priamej úmernosti sme delili) Sledujme v tabuľke: budeme násobiť v každom stĺpci x.y x y 1 2 3 4 5 6 360 180 120 90 72 60 360 360 360 360 360 360 Čiže počítame: 1.360=360, 2.180=360, 3.120=360, ... A doplníme do tabuľky. V treťom riadku dostávame stále rovnaké číslo a to našu konštantu k = 360. Z toho potom vyplýva: Po úprave dostaneme: – to je rovnica nepriamej úmernosti Všeobecne potom platí: , kde k je konštanta (nemenné číslo) a x,y sú premenné veličiny x>0, y>0 Konštantu k vypočítame, ak vynásobíme x a y v ktoromkoľvek stĺpci v tabuľke, čiže k=x.y (Porovnajte si, ako vyzerá rovnica priamej úmernosti a ako sa vypočíta koeficient)

GRAF Graf budeme znázorňovať v pravouhlej sústave súradníc. Na osi x budeme znázorňovať prvú veličinu (počet maliarov) a na osi y budeme znázorňovať druhú veličinu (čas). Znova si pomôžeme tabuľkou: A B x y 1 2 3 4 5 6 360 180 120 90 72 60 Každý stĺpec bude predstavovať jeden bod. Prvý bod, ktorý si označíme A, bude mať súradnice [1;360]. Ďalší bod B bude mať súradnice [2,180] a tak ďalej: A[1;360] C[3;120] E[5;72] B[2;180] D[4;90] F[6;60] Tieto body zobrazíme v pravouhlej sústave súradníc a pospájame ich...

Grafom nepriamej úmernosti je krivka, ktorá sa nazýva hyperbola. Keďže môžeme mať pri úlohe len kladné čísla, stačí nám zobraziť, len kladné časti osí. A keďže druhá veličina sú veľké čísla, môžeme si zmeniť jednotkovú úsečku na osi y ako vidíte na obrázku. A Znázornime body, ktoré sme dostali z tabuľky: B A[1;360] C[3;120] E[5;72] B[2;180] D[4;90] F[6;60] C D E F Pospájame všetky body. Vznikla nám krivka, ktorá má svoj názov - hyperbola. Grafom nepriamej úmernosti je krivka, ktorá sa nazýva hyperbola.

Príklady na nepriamu úmernosť Tabuľka, rovnica a graf

1.) Vytvorte tabuľku nepriamej úmernosti pre hodnoty xЄ{1,2,3,4,6,12}, danú rovnicou: Vytvoríme tabuľku, kde do prvého riadku dosadíme dané čísla: x y 1 2 3 4 6 12 60 30 20 15 10 5 Postupne budeme počítať hodnoty y, čiže druhý riadok, dosadzovaním do rovnice A to tak, že v prvom stĺpci za x dosadíme 1, čiže: y=60:1 a vypočítame, že y=60. Postupne pokračujeme ďalej, za x dosadíme 2, čiže: y=60:2 a dostávame, že y=30. A tak ďalej: y=60:3=20 y=60:6=10 y=60:4=15 y=60:12=5 Jasné, že to počítame spamäti, čiže zapísať stačí len tabuľku. Všimnite si tabuľku nepriamej úmernosti: ak sa čísla v 1.riadku zväčšujú, tak sa v 2.riadku zmenšujú. Pri priamej úmernosti: ak sa v 1.riadku zväčšujú, tak sa aj v 2.riadku zväčšujú.

2.) Doplňte tabuľku nepriamej úmernosti, určte koeficient a zapíšte rovnicu nepriamej úmernosti. x y 1 2 3 4 5 6 12 6 4 3 2,4 2 a) najprv určíme koeficient nepriamej úmernosti: - a to zo 4.stĺpca, lebo poznáme hodnotu x aj y, čiže je to bod [4,3] - koeficient vypočítame jednoducho k=4.3, takže k=12 b) rovnicu je potom už jednoducho zapísať: c) dopočítame hodnoty v tabuľke ako v predchádzajúcom príklade - delíme 12 (koeficient) s hodnotami v prvom riadku a dostaneme nasledujúce hodnoty v druhom riadku

3.) Zostrojte graf nepriamej úmernosti, danú rovnicou: Vieme, že graf nepriamej úmernosti je hyperbola. Aby sme mohlo zostrojiť hyperbolu nestačia nám 2 body ako pri priamke. Čím viac bodov urobíme, tým to bude presnejšie. Najmenej však 4 body zostrojíme. Urobíme si tabuľku, v ktorej si vyberieme 4 hodnoty x a vypočítame 4 hodnoty y. Vyberáme si také čísla, aby sa nám dobre delilo. x 1 2 4 8 y 8 4 2 1 Vypočítame hodnoty y v druhom riadku dosadzovaním do daného vzorca. Znázornime tieto body [1;8], [2;4], [4;2], [8;1]. A zostrojíme hyperbolu prechádzajúcu týmito bodmi.

4.) Zapíšte rovnicu nepriamej úmernosti, ktorej graf je na obrázku: Všeobecná rovnica priamej úmernosti je Treba vypočítať koeficient. Potrebujeme jeden bod z hyperboly. Ten bod vyčítame z grafu, že má súradnice [7;3]. Čiže: x=7, y=3 Dosadíme do rovnice: Rovnica:

5.) Doplňte chýbajúce súradnice bodov, ktoré ležia na grafe nepriamej úmernosti danou rovnicou: A[3;y] B[2;y] C[x;6] D[x;9] E[4;y] F[x;72] G[10;y] H[x;5] y=72:3 y=24 A[3;24] y=72:2 y=36 B[2;36] 6=72:x x=12 C[12;6] 9=72:x x=8 D[8;9] y=72:4 y=18 E[4;18] 72=72:x x=1 F[1;72] y=72:10 y=7,2 G[10;7,2] 5=72:x x=14,4 H[14,4;5]

Úlohy Naštudovať a porozumieť Prepísať; komentáre pri príkladoch netreba prepisovať Príklad: Napíšte rovnicu nepriamej úmernosti, ktorej graf prechádza bodom A[8;1/2] Mailom pošlite rovnicu, ktorá vám vyšla v príklade