7. Princíp náhradného aktívneho dvojpólu Úvod Thèveninova veta Nortonova veta Príklady použitia: príklad 1, príklad 2 Náhradný aktívny dvojpól: dôkaz

7.1. Úvod Pri výpočte pomerov len v jednom úseku elektrického obvodu je výhodné zvyšok obvodu nahradiť čo najjednoduchším zapojením. Dá sa ukázať, že toto (nahradzujúce) zapojenie môžeme zredukovať na technický zdroj napätia, resp. prúdu. V riešenom úseku potom jednoducho vypočítame prúd, resp. napätie. R I 1 2 UN RN (a) 1 2 R I = ? 1 2 IN RN R I (b) Zvyšok obvodu (okrem vyšetrovaného úseku) nahrádzame dvojpólom s aktívnym prvkom (zdrojom). Pri metódach založených na postupnom zjednodušovaní obvodu sme už ukázali, že pomocou spájania dvojpólových skupín, transfiguráciou, vzájomnou zámenou ekvivalentných technických zdrojov, resp. vkladaním či presúvaním zdrojov je naozaj možné zjednodušenie pôvodnej schémy na schému (a) resp (b). Takýto postup je však relatívne zdĺhavý. V tejto kapitole sa preto budeme zaoberať tým, ako nájdeme parametre náhradného zapojenia (t.j. hodnotu napätia UN , resp. prúdu IN náhradného zdroja a hodnotu rezistora RN) jednoduchšie, a síce pomocou Thèveninovej, resp. Nortonovej vety. Najprv tieto vety uvedieme a ukážeme spôsob ich použitia, na konci tejto kapitoly potom uvedieme aj ich dôkaz.

7.2. Thèveninova veta Thèveninova veta: Časť elektrického obvodu, ktorá obsahuje rezistory a nezávislé zdroje, vyvedenú k dvom svorkám 1-2, možno nahradiť sériovým zapojením ideálneho zdroja napätia UN a rezistora RN, pričom napätie UN je rovné napätiu naprázdno medzi svorkami 1-2 a odpor rezistora RN je rovný odporu medzi svorkami 1-2 po vynulovaní všetkých nezávislých zdrojov. Pozn. Ak nahradzovaný obvod obsahuje riadené (neautonómne) zdroje, ktoré nemožno vynulovať, na výpočet hodnoty rezistora RN je nutné použiť iný spôsob. Príklad postupu pri riešení 1 2 1 2 1 2 R I = ? R I 1 2 UN RN RN UN „Odstránime“ vyšetrovaný úsek obvodu Napätie UN určíme ako napätie naprázdno medzi uzlami 1-2 (porovnajte s orientáciou napätia UN vzhľadom na svorky 1-2 v náhradnej schéme) Vynulujeme všetky nezávislé (autonómne) zdroje. Hodnotu odporu náhradného rezistora RN vypočítame ako odpor medzi uzlami 1-2.

7.3. Nortonova veta Nortonova veta: Časť elektrického obvodu vyvedenú k dvom svorkám 1-2 možno nahradiť paralelným zapojením ideálneho zdroja napätia IN a rezistora RN, pričom prúd IN je rovný prúdu nakrátko medzi svorkami 1-2 a odpor rezistora RN je rovný odporu medzi svorkami 1-2 po vynulovaní všetkých nezávislých zdrojov. Pozn. Ak nahradzovaný obvod obsahuje riadené (neautonómne) zdroje, ktoré nemožno vynulovať, na výpočet hodnoty rezistora RN je nutné použiť iný spôsob. Príklad postupu pri riešení 1 2 1 2 1 2 R I = ? 1 2 IN RN R I IN RN „Odstránime“ vyšetrovaný úsek obvodu Prúd IN určíme ako prúd nakrátko medzi uzlami 1-2 (porovnajte s orientáciou prúdu IN vzhľadom na svorky 1-2 v náhradnej schéme) Vynulujeme všetky nezávislé (autonómne) zdroje. Hodnotu odporu náhradného rezistora RN vypočítame ako odpor medzi uzlami 1-2.

7.4. Všeobecný spôsob určenia RN Hodnotu odporu rezistora RN (vnútorného odporu náhradného aktívneho dvojpólu) možno vypočítať všeobecne ako podiel napätia UN (napätia naprázdno) a prúdu IN (prúdu nakrátko) výstupných svoriek nahradzovaného obvodu. Tento spôsob výpočtu sa dá použiť aj v prípade, keď nahradzovaný obvod obsahuje riadené zdroje. Pozn. Pri experimentálnom určovaní tohto odporu je teda možné postupovať tak, že odmeriame napätie naprázdno a prúd nakrátko výstupných svoriek (samozrejme, iba ak obvod obsahuje aktívne prvky - zdroje). UN 1) IN 2)

Náhradný aktívny dvojpól – príklad 1 Použitím princípu náhradného aktívneho dvojpólu vypočítajte prúd I. ? 5 2 2. Výpočet RN 1. Výpočet IN 1. Výpočet UN 2. Výpočet RN Thèveninova veta 5 2 8V 6V 0,5A I = ? Prečo sa táto časť obvodu nijako neprejavila pri výpočte prúdu I? 5 2 8V 6V 0,5A 5 2 8V 6V 0,5A 5 2 8V 6V 0,5A 5 UN RN I = ? 5V 5 UN RN I = ? 2 Tým istým spôsobom, ako pri Thèveninovej vete dostaneme: Výsledok pre prúd I je: IN = ? UN = ? RN = ? RN = 2 I = ? 3A 5V RN = 2 Nortonova veta Napätie naprázdno počítame vždy pomocou II. KZ z vhodne zvolenej slučky (snažíme sa nájsť slučku s čo najväčším počtom známych napätí) Výsledok pre prúd I je: Prúd nakrátko počítame vždy pomocou I. KZ pre vhodne zvolený uzol. 5 IN RN I = ? UN = 5V IN = 2,5A 2,5A 2

Náhradný aktívny dvojpól – príklad 2 Použitím princípu náhradného aktívneho dvojpólu vypočítajte napätie U. ? 1. Výpočet UN 2. Výpočet RN Ukážeme len riešenie Thèveninovou vetou. U = ? 6 10V 8 12 0,1A UN RN a b 0,1A Pre náhradný obvod platí: 6 10V 8 12 a b 6 8 12 a b RN UN U1 U2 a b U = ? odkiaľ pre napätie U: Napätie UN Pre napätie UN zrejme platí: Pre RN platí: Odpor RN Pričom pre napätia U1 a U2 z poučky o delení napätí dostaneme: Výsledok pre napätie U: Na tomto príklade sme okrem iného chceli poukázať na nutnosť dôsledného písania rovníc. „Znamienkové“ chyby sú totiž jednou z najčastejších príčin nesprávneho výsledku. (všimnite si znamienka použité pri výpočte U1, U2)

7.5. Náhradný aktívny dvojpól – dôkaz (1/4) Predpokladajme, že máme určiť prúd v úseku s rezistorom R, ktorý je pripojený medzi svorky 1–2 obvodu obsahujúceho rezistory a zdroje napätia a prúdu (zdroje môžu byť nezávislé aj riadené). I = ? 1 2 Prúd I vypočítame pomocou metódy slučkových prúdov (úplne identický postup dôkazu vyplýva aj z metódy uzlových napätí), z ktorej dostaneme sústavu rovníc pre N neznámych slučkových prúdov Is: R Is1 Is2 IsN (1) V rovniciach (1) na ľavej strane označuje Rnn súčet odporov v slučke n (okrem slučky 1, kde je R11 súčet odporov bez odporu R – ten uvažujeme samostatne) a Rnk je súčet odporov spoločných pre slučku n a slučku k. Na pravej strane je Usn súčet známych (pôsobiacich) napätí v slučke n (buď napätia ideálnych napäťových zdrojov Uz alebo napätia typu RIz, ak sú v obvode ideálne prúdové zdroje s prúdom Iz). Prúd I (ktorý je v našom prípade rovný slučkovému prúdu Is1) vypočítame: (2) pričom pre determinanty D1 a D platí: (3) ... pokračovanie

7.5. Náhradný aktívny dvojpól – dôkaz (2/4) Podľa pravidiel o operáciách s determinantami matíc môžeme D upraviť nasledovne: (4) D11 označuje subdeterminant odkiaľ: (5) D0 je číslo s rozmerom N, D1 má rozmer VN1 a D11 rozmer N1. Môžeme preto zaviesť veličiny: (6) Po použití tohto označenia vo vzťahu (5) pre prúd I nakoniec dostaneme: resp. (7) Vidíme, že všeobecne (bez potreby poznať vnútornú štruktúru obvodu) môžeme prúd v jednom úseku tohto obvodu vypočítať pomocou poučky o delení napätia resp. prúdu. ... pokračovanie

7.5. Náhradný aktívny dvojpól – dôkaz (3/4) Odvodené výsledné vzťahy pre výpočet prúdu I zodpovedajú Thèveninovej, resp. Nortonovej náhradnej schéme: R I 1 2 UN RN Thèvenin 1 2 R I = ? Norton 1 2 IN RN R I Na základe týchto náhradných schém môžeme pre hodnoty UN, IN a RN tvrdiť: Napätie UN je rovné napätiu na R, ak R  , čiže napätiu naprázdno medzi svorkami 1-2 pôvodného obvodu. Prúd IN je rovný prúdu cez R, ak R  0, čiže prúdu nakrátko medzi svorkami 1-2 pôvodného obvodu. Odpor RN je rovný podielu UN a IN. ... pokračovanie

7.5. Náhradný aktívny dvojpól – dôkaz (4/4) Na záver ukážeme, že ak nahradzovaný obvod obsahuje iba nezávislé zdroje hodnotu odporu RN môžeme vypočítať aj inak (jednoduchšie), ako podielom UN a IN. Predpokladajme, že v nahradzovanom obvode vynulujeme všetky nezávislé zdroje. Odpor R12 medzi svorkami 1-2 vypočítame tak, že medzi tieto svorky vložíme zdroj napätia Uz a vypočítame prúd I. Odpor RN sme zaviedli ako: kde D0 a D11 sú determinanty: Zopakovanie Pre odpor R12 zrejme platí: I = ? 1 2 Uz Is1 Is2 IsN Použijeme metódu slučkových prúdov: Na pravej strane sú v tomto prípade vo všetkých slučkách (okrem prvej slučky) pôsobiace napätia nulové (všetky Uza Iz sú nulové). Pre prúd I dostaneme: Odpor R12 je preto rovný: Vnútorný odpor RN pri Thèveninovej alebo Nortonovej náhrade je rovný odporu medzi výstupnými svorkami nahradzovaného obvodu, ak sú v tomto obvode vynulované všetky nezávislé zdroje a obvod neobsahuje iné (riadené) zdroje. kde D0 a D11 označujú tie isté determinanty ako pri výpočte RN.