Matematické dôkazy Teória a ukážky
Štruktúra matematiky Výrok – oznamovacia veta, pri ktorej vieme určiť či je pravdivá, alebo nepravdivá Hypotéza – oznamovacia veta, podobného tvaru ako výrok, ale nepoznáme jej pravdivostnú hodnotu Dôkaz – spôsob, akým z hypotézy spravíme výrok
Štruktúra matematiky Dôkaz HYPOTÉZA VÝROK
Dôkazy matematických viet - hypotéz Dôkazy jednoduchých výrokov Priamy – vychádzame z ľubovoľného pravdivého výroku(vhodne zvoleného) a použitím úsudku „modus ponens“ dôjdeme k tvrdeniu vety Sporom – použijeme pravidlo „vylúčenia tretieho“ a ukážeme, že z negácie pôvodného výroku prídeme k sporu
Dôkazy matematických viet - hypotéz 2) Dôkazy implikácií X Y Priamy – použijeme úsudok „modus ponens“ a z predpokladu vety prídeme reťazou pravdivých implikácií k záveru
Dôkazy matematických viet - hypotéz b) Nepriamy – využijeme fakt, že pôvodná veta a obmenená veta majú rovnakú pravdivostnú hodnotu non (Y ) non(X) Ak poznáme pravdivosť obmeny, poznáme aj pravdivosť pôvodnej vety
Dôkazy matematických viet - hypotéz c) Sporom – ukážeme, že negácia pôvodnej vety vedie k sporu X & non(Y) spor
Ukážky 2.a) V: Pre každé prirodzené číslo n platí: Ak je 2In potom 2In2 D: priamy 2In n = 2.k n2 = 2.2.k 2In2 q.e.d.
Ukážky 2.b) V: Pre každé prirodzené číslo n platí; Ak je n2 deliteľné 2, potom aj n je deliteľné 2. D: nepriamy Obmena: Ak n nie je deliteľné 2 potom ani n2 nie je deliteľné 2 Potom n sa dá napísať n = 2l-1 a teda n2 = 4l2-2l+1, čo nie je deliteľné 2. q.e.d.
Ukážky 2.c) V: Pre každé prirodzené n platí, že Ak n je deliteľné 2 potom aj n2 je deliteľné 2. D: sporom Negácia: Existuje také prirodzené n, že je deliteľné 2 a n2 nie je deliteľné 2. Teda n=2l, n2 = 2.2l,teda n2 je deliteľné 2, čo je spor s predpokladom. Pravda je teda pôvodná veta. q.e.d.
Príklady Napíš obmenu vety: Ak chodím do školy, potom múdriem. Ak som zdravý, potom športujem. Ak športujem, potom som zdravý. Ak je tma, potom svietim.
Príklady Ak prší, potom je mokro. Ak je mokro, tak pršalo. Ak je niekto prvý, potom je víťaz. Napíš negácie uvedených viet.
Úlohy Dokáž vetu: