Priama úmernosť ISCED 2

Príklad ako poznáme priamu úmernosť zo 7. ročníka Výroba 3 kľúčov trvá 45 minút. Koľko kľúčov sa vyrobí za 75 min? x y 3 kľúče ..........................................45 min x kľúčov .........................................75 min x : 3 = 75 : 45 45x = 3 . 75 45x = 225 x = 5 Za 75 min sa vyrobí 5 kľúčov. A teraz sa pozrieme na priamu úmernosť inak, ale budeme vychádzať z tohto príkladu. V každom príklade budú vystupovať dve veličiny, ktoré označíme x a y. V tomto príklade sú to počet kľúčov(x) a čas(y).

Priamu úmernosť si budeme vyjadrovať 3 spôsobmi: TABUĽKA ROVNICA GRAF Budeme vytvárať tabuľku, rovnicu, graf a vyjadrovať vzťah medzi nimi...

TABUĽKA Počet kľúčov x Čas y 1 2 3 4 5 6 15 30 45 60 75 90 Za veličinu x (počet kľúčov) si zvolíme ľubovoľné čísla, snažíme sa čím najjednoduchšie. Aj počet čísel môže byť ľubovoľný, ak nie je daný počet. Teraz sme vybrali čísla od 1 po 6. Z príkladu vieme, že 3 kľúče sa vyrobia za 45 min. Najdôležitejšie je zistiť, za aký čas sa vyrobí jeden kľúč. Jeden kľúč ..... 45 : 3 = 15 min A dopočítame ostatné hodnoty y: 2.15=30, 4.15=60, 5.15=75, 6.15=90 Čiže 2 kľúče sa vyrobia za 30 min a tak ďalej. Veľmi dôležitý je údaj, za aký čas sa vyrobí jeden kľúč, čiže 15 min. Pomocou neho môžeme jednoducho vypočítať všetky ostatné údaje v tabuľke. Budeme ho nazývať konštanta a označovať k. k = 15

ROVNICA Tabuľka obsahuje 2 veličiny (prvý riadok x, druhý riadok y), tak aj rovnica musí obsahovať 2 veličiny (x,y). Sledujme v tabuľke: budeme deliť v každom stĺpci y:x alebo x y 1 2 3 4 5 6 15 30 45 60 75 90 15 15 15 15 15 15 Čiže počítame: 15:1=15, 30:2=15, 45:3=15, ... A doplníme do tabuľky. V treťom riadku dostávame stále rovnaké číslo a to našu konštantu k = 15. Z toho potom vyplýva: Po úprave dostaneme: – to je rovnica priamej úmernosti Všeobecne potom platí: , kde k je konštanta (nemenné číslo) a x,y sú premenné veličiny x>0, y>0 Konštantu k vypočítame, ak vydelíme y a x v ktoromkoľvek stĺpci v tabuľke, čiže k=y:x

GRAF Graf budeme znázorňovať v pravouhlej sústave súradníc. Na osi x budeme znázorňovať prvú veličinu (počet kĺúčov) a na osi y budeme znázorňovať druhú veličinu (čas). Znova si pomôžeme tabuľkou: A B x y 1 2 3 4 5 6 15 30 45 60 75 90 Každý stĺpec bude predstavovať jeden bod. Prvý bod, ktorý si označíme A, bude mať súradnice [1;15]. Ďalší bod B bude mať súradnice [2,30] a tak ďalej: A[1;15] C[3;45] E[5;75] B[2;30] D[4;60] F[6;90] Tieto body zobrazíme v pravouhlej sústave súradníc a pospájame ich...

F E D C A[1;15] C[3;45] E[5;75] B[2;30] D[4;60] F[6;90] B A Keďže môžeme mať pri úlohe len kladné čísla, stačí nám zobraziť, len kladné časti osí. A keďže druhá veličina sú veľké čísla, môžeme si zmeniť jednotkovú úsečku na osi y ako vidíte na obrázku. F E D Znázornime body, ktorá sme dostali z tabuľky: C A[1;15] C[3;45] E[5;75] B[2;30] D[4;60] F[6;90] B A Pospájame všetky body. Vznikla nám priamka. Grafom priamej úmernosti je priamka, ktorá prechádza počiatkom súradnicovej sústavy, čiže bodom [0;0].

Príklady na priamu úmernosť Tabuľka, rovnica a graf

1.) Vytvorte tabuľku priamej úmernosti danú rovnicou y=8x pre hodnoty xЄ{1,3,5,7,9,11}. Vytvoríme tabuľku, kde do prvého riadku dosadíme dané čísla: x y 1 3 5 7 9 11 8 24 40 56 72 88 Postupne budeme počítať hodnoty y, čiže druhý riadok, dosadzovaním do rovnice y=8x. A to tak, že v prvom stĺpci za x dosadíme 1, čiže: y=8.1 a vypočítame, že y=8. Postupne pokračujeme ďalej, za x dosadíme 3, čiže: y=8.3 a dostávame, že y=24. A tak ďalej: y=8.5=40 y=8.9=72 y=8.7=56 y=8.11=88 Jasné, že to počítame spamäti, čiže zapísať stačí len tabuľku.

2.) Doplňte tabuľku priamej úmernosti, určte koeficient a zapíšte rovnicu priamej úmernosti. x y 1 2 3 5 8 13 7 14 21 35 56 91 a) najprv určíme koeficient priamej úmernosti: - a to zo 4.stĺpca, lebo poznáme hodnotu x aj y, čiže je to bod [5,35] - koeficient vypočítame jednoducho k=35:5, takže k=7 b) rovnicu je potom už jednoducho zapísať: y=7x c) Dopočítame hodnoty v tabuľke ako v predchádzajúcom príklade - hodnoty v prvom riadku vynásobíme 7 a dostaneme nasledujúce hodnoty v druhom riadku

3.) Zostrojte graf priamej úmernosti, danú rovnicou: Vieme, že graf priamej úmernosti je priamka, ktorá prechádza bodom [0;0] Priamka je daná dvoma bodmi, jeden bod máme, takže nám stačí nájsť ešte jeden ľubovoľný bod. A Tak si zvolíme napríklad bod A[6;y], kde x=6. Pozn.: To je jedno, čo si zvolíme za x, ale vyberáme tak, aby sa s tým číslom dobre počítalo. Vypočítame súradnicu y: Znázornime bod A[6;3] A zostrojíme priamku prechádzajúcu týmito dvoma bodmi.

4.) Zapíšte rovnicu priamej úmernosti, ktorej graf je na obrázku: Všeobecná rovnica priamej úmernosti je y=k.x Treba vypočítať koeficient. Potrebujeme jeden bod z priamky, okrem bodu [0;0]. Ten bod vyčítame z grafu, že má súradnice [4;80]. Čiže: x=4, y=80 Dosadíme do rovnice: Rovnica: y=20x

5.) Doplňte chýbajúce súradnice bodov, ktoré ležia na grafe priamej úmernosti danou rovnicou: A[3;y] B[2;y] C[x;6] D[x;24] E[7;y] F[x;60] G[11;y] H[x;54] y=6.3 y=18 A[3;18] y=6.2 y=12 B[2;12] 6=6.x x=1 C[1;6] 24=6.x x=4 D[4;24] y=6.7 y=42 E[7;42] 60=6.x x=10 F[10;60] y=6.11 y=66 G[11;66] 54=6.x x=9 H[9;54]

Úlohy Naštudovať a porozumieť Prepísať; komentáre pri príkladoch netreba prepisovať Príklad: Napíšte rovnicu priamej úmernosti, ktorej graf prechádza bodom A[5;60] Mailom pošlite rovnicu, ktorá vám vyšla v príklade