Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Zakreslujte samostatně. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Každá dvojice je uspořádanou dvojicí prvků množiny M. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. V každé uspořádané dvojici se žádný prvek množiny M neopakuje. 

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny různobarevné dvojice kruhů. Dvojice lišící se pořadím kruhů jsou různé. Každá uspořádaná dvojice představuje variaci bez opakování druhé třídy ze tří prvků množiny M. 

Máme množinu čtyř různobarevných čtverců M = { , , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M. Zakreslujte samostatně. 

Máme množinu čtyř různobarevných čtverců M = { , , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M. Nyní si přesuneme jednotlivé variace v řádcích tak, aby se variace vytvořené ze stejně barevných čtverců nacházely v jednom sloupci. 

Máme množinu čtyř různobarevných čtverců M = { , , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M. Čím se liší variace v jednotlivých sloupcích? 

Máme množinu čtyř různobarevných čtverců M = { , , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků množiny M. Variace v jednotlivých sloupcích se liší pořadím prvků. 

Máme množinu tří různobarevných trojúhelníků M = { , , }. a) Zakreslete variace bez opakování druhé třídy ze tří prvků. b) Zakreslete variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků. c) Zakreslete variace bez opakování čtvrté třídy ze tří prvků. Zakreslujte samostatně. Sledujte existenci variací bez opakování - vztah mezi třídou a počtem prvků množiny M. 

Máme množinu tří různobarevných trojúhelníků M = { , , }. a) Zakreslete variace bez opakování druhé třídy ze tří prvků. b) Zakreslete variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků. c) Zakreslete variace bez opakování čtvrté třídy ze tří prvků. Jestliže je třída menší než počet prvků množiny M, pak příslušné variace bez opakování existují. 

Máme množinu tří různobarevných trojúhelníků M = { , , }. a) Zakreslete variace bez opakování druhé třídy ze tří prvků. b) Zakreslete variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků. c) Zakreslete variace bez opakování čtvrté třídy ze tří prvků. Jestliže je třída rovna počtu prvků množiny M, pak příslušné variace bez opakování existují. 

Máme množinu tří různobarevných trojúhelníků M = { , , }. a) Zakreslete variace bez opakování druhé třídy ze tří prvků. b) Zakreslete variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků. c) Zakreslete variace bez opakování čtvrté třídy ze tří prvků. například: Z daných trojúhelníků nelze sestavit žádnou uspořádanou čtveřici tak, aby se v ní žádný prvek množiny M neopakoval. Jestliže je třída větší než počet prvků množiny M, pak příslušné variace bez opakování neexistují. 

že variace bez opakování k-té třídy z n prvků jsou Nyní již víme, že variace bez opakování k-té třídy z n prvků jsou všechny možné uspořádané k-tice sestavené z n prvků množiny M tak, že v každé z nich se žádný prvek neopakuje, a že existují, pokud je třída menší nebo rovna počtu prvků množiny M. Zapišme si definici. 

DEFINICE Nechť k, n jsou celá kladná čísla, k n a nechť je dána konečná množina M, která má n prvků. Každá uspořádaná k-tice sestavená z prvků množiny M tak, že se v ní žádný prvek neopakuje, se nazývá variace bez opakování k-té třídy z n-prvků. 

Spíše než vypisování všech variací bez opakování k-té třídy z daných n prvků množiny M nás bude zajímat počet všech těchto variací bez opakování, který označíme Vk(n). 

O prázdninách se uskuteční letní setkání českých, anglických, německých a francouzských studentů. Kolik dvojjazyčných slovníků musí organizátoři setkání koupit, aby byla zajištěna možnost přímého překladu z rodného jazyka do ostatních jazyků? (Slovníky kupujeme po jednom výtisku). Každý slovník zapíšeme jako uspořádanou dvojici neboli variaci druhé třídy ze čtyř prvků. například: Česko – Francouzský slovník … [Č, F] Francouzsko – Český slovník … [F, Č] Jaké slovníky je nutno zakoupit? 

Kolik dvojjazyčných slovníků je nutno koupit? O prázdninách se uskuteční letní setkání českých, anglických, německých a francouzských studentů. Kolik dvojjazyčných slovníků musí organizátoři setkání koupit, aby byla zajištěna možnost přímého překladu z rodného jazyka do ostatních jazyků? (Slovníky kupujeme po jednom výtisku). [Č, A] [A, Č] [N, Č] [F, Č] [Č, N] [A, N] [N, A] [F, A] [Č, F] [A, F] [N, F] [F, N] Kolik dvojjazyčných slovníků je nutno koupit? 

O prázdninách se uskuteční letní setkání českých, anglických, německých a francouzských studentů. Kolik dvojjazyčných slovníků musí organizátoři setkání koupit, aby byla zajištěna možnost přímého překladu z rodného jazyka do ostatních jazyků? (Slovníky kupujeme po jednom výtisku). [Č, A] [Č, A] [A, Č] [A, Č] [N, Č] [N, Č] [F, Č] [F, Č] [Č, N] [Č, N] [A, N] [A, N] [N, A] [N, A] [F, A] [F, A] [Č, F] [Č, F] [A, F] [A, F] [N, F] [N, F] [F, N] [F, N] První člen uspořádané dvojice můžeme vybrat 4 způsoby. 

O prázdninách se uskuteční letní setkání českých, anglických, německých a francouzských studentů. Kolik dvojjazyčných slovníků musí organizátoři setkání koupit, aby byla zajištěna možnost přímého překladu z rodného jazyka do ostatních jazyků? (Slovníky kupujeme po jednom výtisku). [Č, A] [Č, A] [A, Č] [A, Č] [N, Č] [N, Č] [F, Č] [F, Č] [Č, N] [Č, N] [A, N] [A, N] [N, A] [N, A] [F, A] [F, A] [Č, F] [Č, F] [A, F] [A, F] [N, F] [N, F] [F, N] [F, N] První člen uspořádané dvojice můžeme vybrat 4 způsoby. Pro výběr druhého členu máme už jen 3 možnosti. Na tomto místě nemůže již být prvek, který jsme vybrali na první místo. 

Potřebujeme koupit 12 dvojjazyčných slovníků. O prázdninách se uskuteční letní setkání českých, anglických, německých a francouzských studentů. Kolik dvojjazyčných slovníků musí organizátoři setkání koupit, aby byla zajištěna možnost přímého překladu z rodného jazyka do ostatních jazyků? (Slovníky kupujeme po jednom výtisku). [Č, A] [A, Č] [N, Č] [F, Č] [Č, N] [A, N] [N, A] [F, A] [Č, F] [A, F] [N, F] [F, N] První člen uspořádané dvojice můžeme vybrat 4 způsoby. Pro výběr druhého členu máme už jen 3 možnosti. V2(4) = 4 . 3 = 12 Potřebujeme koupit 12 dvojjazyčných slovníků. 

Jak vypočteme počet všech možných umístění? Kolik různých umístění může být na prvních třech místech při hokejovém mistrovství světa, jestliže se ho zúčastní osm družstev? Systém soutěže neumožňuje dělbu umístění. Jelikož v každé medailové trojici záleží na tom, které z hokejových družstev získá zlatou, které stříbrnou a které bronzovou medaili, jedná se o uspořádané trojice. Vzhledem k tomu, že každé hokejové družstvo může získat nejvýše jednu medaili, jsou tyto uspořádané trojice variacemi bez opakování třetí třídy z osmi prvků. Jak vypočteme počet všech možných umístění? 

Kolik různých umístění může být na prvních třech místech při hokejovém mistrovství světa, jestliže se ho zúčastní osm družstev? Systém soutěže neumožňuje dělbu umístění. První člen uspořádané trojice můžeme vybrat 8 způsoby. Druhý člen uspořádané trojice vybereme už 7 způsoby, jelikož první člen je již obsazen jedním družstvem. Třetí člen uspořádané trojice vybíráme pouze 6 způsoby, jelikož první a druhý člen jsou již obsazeny. Počet V3(8) všech variací třetí třídy z osmi prvků je tedy roven součinu 3 přirozených čísel takových, že největší je rovno číslu 8 (počet zúčastněných družstev) a každé další je o jednu menší (7, 6). Vypočtěte samostatně. 

Na prvních třech místech může být 336 různých umístění. Kolik různých umístění může být na prvních třech místech při hokejovém mistrovství světa, jestliže se ho zúčastní osm družstev? Systém soutěže neumožňuje dělbu umístění. V3(8) = 8 . 7 . 6 = 336 Na prvních třech místech může být 336 různých umístění. 

VĚTA Vk(n) = n(n – 1)(n – 2) … (n – k + 1) Pro počet Vk(n) všech variací bez opakování k-té třídy z n prvků platí: Vk(n) = n(n – 1)(n – 2) … (n – k + 1) 

Vzorec pro výpočet počtu variací bez opakování k-té třídy z n prvkové množiny můžeme ještě upravit. Již víme, že (n – k)! = (n – k)(n – k – 1) … 2 . 1 Podle předchozí věty platí: 

Kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, pokladníka a nástěnkáře? Budeme počítat počet variací bez opakování? Pokud ano, které třídy a z kolika prvků? Zdůvodněte. 

Kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, pokladníka a nástěnkáře? Určujeme počet variací bez opakování čtvrté třídy z 30 prvků, jelikož ve hledaných čtveřicích záleží na tom, kdo bude předsedou, místopředsedou, pokladníkem či nástěnkářem – uspořádané čtveřice. Každý student ze třídy se vyskytuje v těchto uspořádaných čtveřicích nejvýše jednou. 

Kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, pokladníka a nástěnkáře? k = 4 n = 30 Dosaďte do vzorce. 

Kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, pokladníka a nástěnkáře? k = 4 n = 30 Rozložte vyšší faktoriál na nižší. 

Kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, pokladníka a nástěnkáře? k = 4 n = 30 Dopočtěte příklad. 

Kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, pokladníka a nástěnkáře? k = 4 n = 30 Studenti mohou zvolit výbor celkem 657 720 způsoby. 

Kolik existuje variací bez opakování šesté třídy z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9? Při výpočtu použijeme kalkulátor. Zjistěte, zda váš kalkulátor neumožňuje přímý výpočet Vk(n). Pokud ano, nastudujte v návodu kalkulátoru, jak lze výpočet provést. S postupem vkládání dat seznamte i své spolužáky. 

Kolik existuje variací bez opakování šesté třídy z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9? k = 6 n = 9 Dosaďte do vzorce. 

Kolik existuje variací bez opakování šesté třídy z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9? k = 6 n = 9 Faktoriál vypočtěte pomocí kalkulátoru. 

Kolik existuje variací bez opakování šesté třídy z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9? k = 6 n = 9 Existuje celkem 60 480 zadaných variací bez opakování. 

ZÁVĚREM

Albert Einstein: Radost z uvažování a z chápání je nejkrásnějším darem přírody. Zdroj citátu: Mathes [online]. [cit. 2010-10-30]. Matematické citáty. Dostupné z WWW: <http://mathes.cz/citaty.aspx>. Mgr. Lenka Pláničková Opava 2010