Reciproké rovnice 6. stupně (Řešený příklad) Jana Leciánová Gymnázium Uherské Hradiště, 2013
Reciproké rovnice (1/7) Řešte rovnici: 6 𝑥 6 +23 𝑥 5 −2 𝑥 4 −54 𝑥 3 −2 𝑥 2 +23𝑥+6=0 Řešení: Vydělíme obě strany rovnice 𝑥 3 a upravíme na tvar vhodný pro substituci. Reciproké rovnice mají všechny kořeny různé od nuly. 6 𝑥 3 +23 𝑥 2 −2𝑥−54− 2 𝑥 + 23 𝑥 2 + 6 𝑥 3 =0 6 𝑥 3 + 1 𝑥 3 +23 𝑥 2 + 1 𝑥 2 −2 𝑥+ 1 𝑥 −54=0
Reciproké rovnice (2/7) 𝑦=𝑥+ 1 𝑥 𝑦 2 = (𝑥+ 1 𝑥 ) 2 𝑦 2 = 𝑥 2 +2+ 1 𝑥 2 Zavedeme Lagrangeovu substituci: 𝑦=𝑥+ 1 𝑥 𝑦 2 = (𝑥+ 1 𝑥 ) 2 𝑦 2 = 𝑥 2 +2+ 1 𝑥 2 𝑦 2 −2= 𝑥 2 + 1 𝑥 2
Reciproké rovnice (3/7) 𝑦 3 = (𝑥+ 1 𝑥 ) 3 𝑦 3 = 𝑥 3 +3𝑥+ 3 𝑥 + 1 𝑥 3 Zavedeme Lagrangeovu substituci (pokračování): 𝑦 3 = (𝑥+ 1 𝑥 ) 3 𝑦 3 = 𝑥 3 +3𝑥+ 3 𝑥 + 1 𝑥 3 𝑦 3 = 𝑥 3 + 1 𝑥 3 +3 (x+ 1 𝑥 ) 𝑦 3 −3𝑦= 𝑥 3 + 1 𝑥 3
Reciproké rovnice (4/7) 6 𝑦 3 −3𝑦 +23 𝑦 2 −2 −2𝑦−54=0 Dosazení substituce: 6 𝑦 3 −3𝑦 +23 𝑦 2 −2 −2𝑦−54=0 6 𝑦 3 −18𝑦+23 𝑦 2 −46 −2𝑦−54=0 6 𝑦 3 +23 𝑦 2 −20𝑦−100=0 Odhadneme jeden kořen: 𝑦 1 =2
Reciproké rovnice (5/7) 6 23 -20 -100 2 12 70 100 6 35 50 0 Pomocí Hornerova schématu převedeme na kvadratickou rovnici: 6 23 -20 -100 2 12 70 100 6 35 50 0
Reciproké rovnice (6/7) 6𝑦 2 +35 𝑦+50=0 𝐷=1225−1200=25 Řešení kvadratické rovnice: 6𝑦 2 +35 𝑦+50=0 𝐷=1225−1200=25 − 10 3 𝑦 1,2 = −35 ±5 12 − 5 2 Dostali jsme 3 kořeny: 𝑦 1 =2, 𝑦 2 =− 10 3 , 𝑦 3 =− 5 2
K = −3; − 1 3 ;− 1 2 ; −2; 1 Reciproké rovnice (7/7) 𝑥+ 1 𝑥 =− 10 3 Dosazení do substituce: 𝑥 + 1 𝑥 = 2 𝑥 2 −2𝑥+1=0 𝑥 1 = 𝑥 2 = 1 (dvojnásobný kořen) 𝑥+ 1 𝑥 =− 10 3 3 𝑥 2 + 10𝑥 + 3= 0 𝑥 3 = −3 ; 𝑥 4 = − 1 3 𝑥+ 1 𝑥 = − 5 2 2 𝑥 2 +5𝑥 + 2 = 0 𝑥 5 = −2 ; 𝑥 6 = − 1 2 K = −3; − 1 3 ;− 1 2 ; −2; 1
Zdroje informací: VEJSADA F., TALAFOUS F. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO GYMNASIA, SPN Praha, 1969.