CW-057 LOGISTIKA 34. PŘEDNÁŠKA Lineární programování – 4/G Leden 2017 AKREDITAČNÍ ZMĚNA OZNAČENÍ PŘEDMĚTU – z CW13 na CW057 CW-057 LOGISTIKA 34. PŘEDNÁŠKA Lineární programování – 4/G Leden 2017 © Ing. Václav Rada, CSc.

CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ Další ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování – 4 … GRAFICKÉ VYJÁDŘENÍ ☺ Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob Řešení grafickou metodou geometrického vyjádření (znázornění) řešeného problému a postupu jeho řešení – včetně grafiky vyjá-dření omezujících podmínek. Metoda je vhodná pro systém s pouze dvěma proměnnými – tzv. dvourozměrné systémy. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob Pomocí dvourozměrných systémů jsou zobrazeny a řešeny pouze velmi jednoduché (a povětšinou neekonomické) případy. Nicméně dávají správný vhled do problema-tiky a tudíž usnadňují pochopení – i odvození – pro složitější (vícerozměrné) úlohy. Březen 2011

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob Tedy i řešení dvourozměrných úloh je jednoduché a snadněji pochopitelné. Pro zobrazení takové úlohy postačuje klasic-ký kartézský souřadnicový systém s osami x a y zobrazujícími každá jednu z proměnných úlohy. Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob K doplnění poslouží tento příklad: - jedna výrobna vyrábí sportovní potřeby - je vybrán jeden výrobek, který je balen a prodáván ve dvou různých baleních označe-ných písmeny A a B - na každé balení se spotřebuje různé množ-ství téhož balicího prostředku - ……. Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob zabalení každého z obou provedení trvá různý čas - z prodeje výrobku v těchto dvou různých baleních pak plyne různý zisk - každého z obou balení je k dispozici různý disponibilní počet kusů. Údaje a hodnoty jsou v tabulce: Březen 2010

spotřeba balicího papíru [m2] CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob spotřeba balicího papíru [m2] spotřeba času [hod] zisk [Kč] výrobek č. 1 2 0,4 500 výrobek č. 2 4 0,3 80 disponibilní množství 900 120 Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob Matematický model: + maximalizuje se vztah z = 500 * x1 + 800 * x2 + podmínky 2 * x1 + 4 * x2 ≤ 900 0,4 * x1 + 0,3 * x2 ≤ 120 x1 ≥ 0 a x2 ≥ 0 + CO je řešením ??? Březen 2017

CW05 Lineární programování – grafický způsob PŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM (pro n-rozměrnou úlohu LP) je každá n-tice [ x1 , x2 , x3 , ... xn ] reálných čísel, která vyhovuje VŠEM podmín-kám zadané soustavy. Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob NEPŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM (pro n-rozměr-nou úlohu LP) je každá n-tice [ x1 , x2 , x3 , ... xn ] reálných čísel, která NEvyhovuje alespoň jedné podmínce ze soustavy zada-ných podmínek. Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob OPTIMÁLNÍM ŘEŠENÍM (pro n-rozměrnou úlohu LP) je takové přípustné řešení, při kterém nabývá hodnota účelové funkce z požadovaného extrému (tj. maximální nebo minimální hodnotu). Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob V příkladu bude platit: * přípustné řešení - ŘEŠENÍ x1 = 0 , x2 = 0 – tj. dvojice [ 0 , 0 ], která po dosazení do obou podmínek jejich nerovnostem vyhovuje - nebo ŘEŠENÍ [ 10 , 20 ] , [ 300 , 0 ] - ATD. Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob * nepřípustné řešení - ŘEŠENÍ [ -5 , 0 ] ... nevyhovuje podmínce „kladných čísel“ - ŘEŠENÍ [ 200 , 150 ] ...nevyhovuje OBĚMA nerovnostem v zadání * optimální řešení - ŘEŠENÍ [ 210 , 120 ] ... je ale nutné jej nějakou metodou nalézt ..... Březen 2010

GRAFICKÁ REPREZENTACE CW05 Lineární programování – grafický způsob GRAFICKÁ REPREZENTACE Podmínka ve tvaru rovnosti - obsahuje dvě proměnné = je to přímka Podmínka ve tvaru nerovnosti - obsahuje dvě proměnné = je to polorovina s hraniční přímkou Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob Rovnost 2 * x1 + 4 * x2 = 6 x1 x2 [ 0 , 2 ] [ 4 , 0 ] Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 2 * x1 + 4 * x2 ≤ 6 x1 x2 [ 0 , 2 ] [ 4 , 0 ] Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 2 * x1 + 4 * x2 ≤ 900 x1 x2 [ 0 , 225 ] [ 450 , 0 ] Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 0,4 * x1 + 0,3 * x2 ≤ 120 x1 x2 [ 0 , 400 ] [ 300 , 0 ] Březen 2010

Nerovnost x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 CW05 Lineární programování – grafický způsob 1. kvadrant – obě poloroviny tvoří průnik, protože platí současně Březen 2010

MPŘ Množina Přípustných Řešení = MPŘ CW057 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1 [ 0 , 225 ] [ 450 , 0 ] x2 [ 0 , 400 ] [ 300 , 0 ] MPŘ Březen 2010

GRAFICKÁ REPREZENTACE ÚČELOVÉ FUNKCE CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob GRAFICKÁ REPREZENTACE ÚČELOVÉ FUNKCE Pro dvourozměrnou funkci má účelová funkce úlohy LP vždy tento tvar (kde z = hodnota účelové funkce) z(x1 , x2) = c1 * x1 + c2 * x2 Jedná se o třírozměrnou funkci (x1 , x2 , z), která představuje rovinu ve třírozměrném prostoru. Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob V praxi se bere pro konkrétní hodnoty dané úlohy v podobě rovnice zadané maximalizač-ní (případně minimalizační) rovnice – zde bude z = 500 * x1 + 800 * x2 Hodnota účelové funkce pak bude (pro kon-krétní hodnoty) znázorněna izoprofitovou přímkou. Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob Izoprofitová přímka v podstatě pravo-úhlým průmětem průsečnice dvou rovin z(x1 , x2) = c1 * x1 + c2 * x2 a roviny z(x1 , x2) = konst. … zvolená hodnota předsta- vující konkrétní hodnotu účelové funkce do roviny (x1 , x2) = konst. … tj. dvourozměrné. Izoprofitové přímky jsou rovnoběžné. Březen 2010

Množina Přípustných Řešení = MPŘ CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1 [ z = 500 * x1 + 800 * x2 ] x2 [ z = 100 000 ] [ z = 0 ] [ z = 200 000 ] Březen 2010

průnik rovin Množina Přípustných Řešení = MPŘ CW057 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1 x2 z průnik rovin Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob Při optimalizaci se izoprofitové přímky posouvají: pro maximalizaci … z(x) bylo co největší pro minimalizaci … z(x) bylo co nejmenší, Březen 2010

CW05 Lineární programování – grafický způsob Optimální řešení dvourozměrné úlohy LP je dáno bodem na izoprofitové přímce účelové funkce, který leží v MPŘ (je součástí množi-ny přípustných řešení) pokud již nelze izo-profitovou přímku účelové funkce posunout potřebným (požadovaným) směrem. Březen 2010

Izoprofitová přímka účelové funkce při maximálním profitu CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob Optimální řešení ( x1* , x2* ) x2 x1 Izoprofitová přímka účelové funkce při maximálním profitu x2* x1* Březen 2011

Vyčíslení hodnot daného příkladu je dáno vyřešením soustavy rovnic: CW05 Lineární programování – grafický způsob Vyčíslení hodnot daného příkladu je dáno vyřešením soustavy rovnic: 2 * x1* + 4 * x2* = 900 0,4 * x1* + 0,3 * x2* = 120 a tedy x1* = 210 …… x2* = 120 Březen 2011

CW057 CW13 CW05 Lineární programování – grafický způsob Závěr: Optimální výroba daného předmětu prodáva-ného ve formě balení A a B nastane, pokud bude platit: balení A bude 210 kusů balení B bude 120 kusů. Celkový zisk pak bude: (500 * 210 + 800 * 120) = 201 000 Kč, což je ta izoprofitová přímka účelové funkce. Březen 2011

…..… Informace pokračují …..č.5… cw057 – p. 34. CW057 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …..č.5… …..… cw057 – p. 34. březen 2017

CW057 CW13 CW05 ……… Březen 2017