Konstrukce trojúhelníku Známe-li jednu stranu a těžnici i výšku k ní příslušnou.

Zopakujme si, co víme o výškách trojúhelníku: Výška trojúhelníku je kolmá vzdálenost vrcholu a protější (příslušné) strany . Máme tři strany a tři vrcholy – tudíž i tři výšky. Značíme je v závislosti na označení vrcholů a příslušných stran – va, vb, vc. Výšky se protínají v jednom bodě.

Trojúhelník – výšky trojúhelníku K sestrojení výšky nám z pohledu konstrukčního pomáhá kolmice na stranu procházející příslušným vrcholem.

Zopakujme si, co víme o těžnicích trojúhelníku: Těžnice trojúhelníku je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem jeho protilehlé strany; vzdálenost vrcholu a středu protější (příslušné) strany. Máme tři strany a tři vrcholy – tudíž i tři těžnice. Značíme je v závislosti na označení příslušných vrcholů a stran – ta, tb, tc. Těžnice se protínají v jednom bodě - těžišti.

Vlastnost těžnic trojúhelníku. Těžiště dělí těžnice v poměru 2:1 tak, že delší úsek těžnice leží vždy u vrcholu. To znamená, že úsek těžnice od vrcholu do těžiště tvoří vždy 2/3 celkové délky těžnice. 2/3 1/3 1/3 1/3 2/3 2/3

A nyní již přikročíme ke konstrukci. Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém c = 6 cm, vc = 4 cm, tc = 4,5 cm. Náčrt: tc vc c S

Rozbor: C C C C C C p vc vc vc vc vc vc Připomeneme si nejdříve, jak sestrojíme bod C pomocí zadané výšky? Co o bodu C víme? Víme, že jeho kolmá vzdálenost od strany c je 4 cm (vc = 4 cm). Kde se tedy může nacházet bod splňující danou podmínku? Co je množinou všech bodů, jejichž kolmá vzdálenost od strany c je 4 cm? Je to přímka rovnoběžná se stranou c, sestrojená ve vzdálenosti 4 cm. C C C C C C p vc vc vc vc vc vc

Rozbor: Připomeneme si také, jak sestrojíme bod C pomocí zadané těžnice? Co o něm víme? Víme, že jeho vzdálenost od středu strany c je 4,5 cm (tc = 4,5 cm). Kde se tedy může nacházet bod splňující danou podmínku? Co je množinou všech bodů, jejichž vzdálenost od středu strany c je 4,5 cm? Je to kružnice se středem ve středu strany c a poloměrem o velikosti tc, tj. 4,5 cm. C5 C4 C6 C1 tc tc tc tc k C2 tc tc C3 S

Náčrt a rozbor: Začneme jako vždy zadanou stranou, v tomto případě stranou c. Následuje použití zadané výšky – sestrojíme rovnoběžku ve vzdálenosti dané velikostí výšky vc. Na závěr použijeme zadanou těžnici – sestrojíme kružnici se středem ve středu strany c a s poloměrem o velikosti těžnice tc. o k q C2 Kružnice k se s přímkou q protíná ve dvou bodech, což znamená, že vznikají dva vrcholy C, tedy že příklad má dvě řešení! Sc p

Zápis a konstrukce: 1. AB; AB=c = 6 cm 4. k; k(Sc; tc = 4,5 cm) 2. q; qAB, q,AB=vc = 4 cm 5. C1, C2; C1, C2  q  k 3. Sc; ScAB, ASc = ScB 6. Trojúhelník ABC1, ABC2 o k q C2 C1 c p A Sc B

Výsledný trojúhelník Úloha má dvě řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelníky vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: c = 9 cm, vc = 3 cm, tc = 65 mm (Pozor na jednotky!)

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: b = 8 cm, vb = 8 cm, tb = 10 cm

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: V případě, kdy je velikost výšky k dané straně shodná s velikostí těžnice k téže straně, existuje právě jedno řešení – rovnoramenný trojúhelník! c = 5 cm, vc = 3 cm, tc = 3 cm

Pár příkladů k procvičení – příklad č. 4 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: V případě, kdy je velikost výšky k dané straně větší než velikost těžnice k téže straně, řešení neexistuje! c = 5 cm, vc = 3 cm, tc = 2 cm

Dobrá rada na závěr: Pamatuj si! Je-li při konstrukci trojúhelníku zadána výška, použijeme ji většinou ve druhém kroku konstrukce k sestrojení rovnoběžky s příslušnou stranou ve vzdálenosti dané velikostí výšky. Například: Je-li dána strana b a výška vb, začneme konstrukci stranou b a pokračujeme rovnoběžkou se stranou b ve vzdálenosti vb.

A ještě jedna dobrá rada na závěr: Pamatuj si! Je-li při konstrukci trojúhelníku zadána těžnice, použijeme ji k sestrojení kružnice se středem ve středu příslušné strany a poloměrem o velikosti dané těžnice. Například: Je-li dána strana b a těžnice tb, začneme konstrukci stranou b a pokračujeme kružnicí se středem ve středu strany b a poloměrem o velikosti tb.

Tak přesnou ruku při rýsování!