Fergusonova kubika a spline křivky KMA / GPM F. Ježek (JEZEK@KMA.ZCU.CZ)

Obsah Fergusonova kubika Definice spline křivky Základní rovnice kubické spline křivky Okrajové podmínky Spline křivky obecného stupně Zobecněný spline

Fergusonova kubika Základní segment kubické uniformní spline křivky Dáno: počáteční a koncový bod uniformní parametrizace tečné vektory v počátečním a koncovém bodě

Fergusonova kubika Rovnice Fergusonovy kubiky: Bázové funkce

Fergusonova kubika

Lagrangeova a spline interpolace Globální interpolace Stupeň závisí na počtu opěrných bodů Globální „mimika“ Interpolace po částech (spline) Stupeň nezávisí na počtu opěrných bodů Lokální „mimika“ Globální – Lagrangeova interpolace Spline interpolace

„Spline stroj“ Spline je „matematický model chování pružného laťkového křivítka“

Definice kubické spline křivky Dáno: Opěrné body interpolační křivky (rovinné nebo prostorové), jejich polohové vektory značíme Parametrizace Okrajové podmínky (jedna z následujících variant) vetknutí volné konce křivka je uzavřená

Definice kubické spline křivky Definice pomocí spline funkce Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Složky této vektorové funkce jsou kubickými spline funkcemi parametru a splňují okrajové podmínky

Definice kubické spline křivky Přímá definice Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcí Její složky jsou po částech kubické polynomy Splňuje interpolační podmínky: Splňuje okrajové podmínky: Je třídy , tedy má spojité derivace do druhého řádu

Definice kubické spline křivky Parametrizace spline křivky uniformní(konstantní krok parametru) neuniformní chordálová (krok parametru je úměrný vzdálenosti) obloukem („nerealizovatelný ideál“) – rovnoměrný pohyb …..

Základní rovnice kubické spline křivky Výpočet kubického uniformního splinu: určíme tečné vektory ve všech uzlech, tj. generujeme jednotlivé Fergusonovy oblouky

Základní rovnice kubické spline křivky Základní vztah pro uniformní kubický spline (zajišťuje spojitost do druhé derivace): Vztah je odvozen na základě výpočtu podmínek pro dotyk dvou Fergusonových kubik při spojitosti až do druhé derivace

Okrajové podmínky Vetknutí – doplnění dvou triviálních rovnic (je znám vektor první derivace v počátečním a koncovém bodě) Volné konce Uzavřená křivka - cykličnost

Spline – příklady (3D) Velký krok parametru Silně neuniformní parametrizace t=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 21]; Chordálová parametrizace

Spline křivka stupně s Definice – po částech polynomy stupně s spojitost třídy s-1, tj. je třídy Určíme počet stupňů volnosti spline křivky stupně s. Koeficienty (n oblouků po (s+1) koeficientu) Podmínky interpolace (dva body na oblouk) Podmínky hladkosti (s-1 podmínek ve vnitřním bodě) Stupeň volnosti

Spline křivka stupně s Spline křivka stupně s je jednoznačně určena opěrnými body a s-1 dalšími (okrajovými) podmínkami. Uzavřená spline křivka stupně s je jednoznačně určena opěrnými body. V praxi se používají především spline křivky lichých stupňů. Důvod: symetrie počtu podmínek v krajních bodech segmentu křivky