MODELY TEORIE GRAFŮ

Obsah Graf - základní pojmy Základy grafových algoritmů Základní modely

Graf G = ( V, E ) V je množina vrcholů (uzlů) grafu E je množina hran grafu

Graf - základní pojmy sousednost vrcholů - incidence vrcholu s hranou souvislý graf orientovaný graf cesta a kružnice strom a síť ohodnocený graf

Základy grafových algoritmů zobrazení grafů prohledávání grafu do hloubky prohledávání grafu do šířky topologické číslování vrcholů orientovaného grafu

Prohledávání grafu do šířky v každém kroku všechny další hrany do ještě nenavštívených uzlů

Prohledávání grafu do hloubky v každém kroku jedna hrana do ještě nenavštíveného uzlu

Topologické číslování vrcholů orientovaného grafu jsou-li vrcholy očíslovány přirozenými čísly, pak platí pro každou hranu (i,j) že i < j 4 5 2 3 1

Základní modely Nejlevnější kostra Nejkratší cesta Maximální tok v síti

Nejlevnější kostra minimální délky větví síťového propojení počítačů kostra: souvislý graf s minimálním počtem hran princip: přidáváme hrany podle ohodnocení tak, aby netvořily kružnici

Příklad – zapojení el. sítě Při přípravě karnevalu bylo potřeba vyřešit problém, jak propojit jednotlivé elektrické lampiony kabelem tak, aby bylo spotřebováno co nejméně kabelu a všechny lampiony byly zapojeny. Rozmístění lampionů a rozvodu elektrické energie je na následujícím obrázku:

Příklad – zapojení el. sítě Matice vzdáleností mezi komponentami v metrech:

Nejkratší cesta nejkratší cesta mezi místem A a B maximální délka navazujících činností princip: v(i,k) porovnáme s v(i,j) + v(j,k) (kdykoliv je nalezena nová cesta z uzlu i do uzlu k přes uzel j) i k j

Nejkratší cesta v grafu Nalezení nejkratší cesty mezi dvěma místy Síť cest Některé cesty nemusí existovat Postup řešení Vypočteme délku tras od počátku do všech uzlů, do nichž se lze dostat z uzlu aktuálního Přesuneme se do uzlu, který je nejblíže počátku a v němž jsme ještě nebyli Algoritmus končí, jakmile se dostaneme do cílového místa

Příklad – nejkratší cesta Najděte nejkratší cestu z místa A do místa H:

Maximální tok v síti proputnost produktovodů Ford Fulkersonova věta maximální tok v síti je roven jejímu minimálnímu řezu

Příklad Jaké maximální množství plynu lze pustit do následující sítě? Kapacity hran jsou dány v m3.