ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ vzdálenost dvou bodů střed úsečky Grafický rozbor úlohy je proveden pouze u Úlohy 1 a Úlohy 2. Úloha 3 až Úloha 7 jsou opatřeny grafickým ověřením získaných výsledků na konci řešení úlohy. Rozbor úlohy Řešení úlohy Obrázek 1 Obrázek 2 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

1 Vypočtěte obvod  ABC, je-li A = [-3; 4], B = [2; -1] a C = [1; 2]. 2 Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. 3 V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. 4 Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. 5 Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. 6 Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. 7 Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. levý obrázek: Obrázek 1 pravý obrázek: Obrázek 2

1 Vypočtěte obvod  ABC, je-li A = [-3; 4], B = [2; -1] a C = [1; 2]. Obvod  ABC: o = a + b + c Délky stran  ABC vypočteme pomocí vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů v rovině: Z Obrázek 2

Délky jednotlivých stran dosadíme do vzorce. 1 Vypočtěte obvod  ABC, je-li A = [-3; 4], B = [2; -1] a C = [1; 2]. Obvod  ABC je přibližně 14,7. Vypočteme obvod  ABC. Délky jednotlivých stran dosadíme do vzorce. Vypočteme stranu a. Vypočteme stranu c. Vypočteme stranu b. Z Obrázek 1

2 Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Těžnice je spojnice vrcholu trojúhelníku se středem jeho protilehlé strany. Souřadnice středu SAC = [s1; s2]: Délku těžnice tb = |SACB | vypočteme pomocí vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů v rovině: Z Obrázek 2

2 Určete délku těžnice tb v  ABC, je-li A = [2; 7], B = [-4; 3] a C = [6; -1]. Délka těžnice tb je rovna 8. Vypočteme souřadnici s1 středu SAC. Příklad dopočteme. Dosadíme souřadnice bodů B a SAC. Vypočteme souřadnici s2 středu SAC. Vypočteme délku těžnice tb. Z Obrázek 1

3 V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. 3 Úhlopříčky rovnoběžníku ABCD se navzájem půlí v jeho středu S. Souřadnice vrcholů C a D vypočteme pomocí vzorce pro určení souřadnic středu úsečky: Z Obrázek 2

3 V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. 3 Vrchol C: Zapíšeme souřadnice vrcholu C. Vypočteme souřadnici xC. Dosadíme souřadnice bodů A a S. Vypočteme souřadnici yC.  Obrázek 1

3 V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. 3 Vrchol D: Dosadíme souřadnice bodů B a S. Grafické ověření výsledků. Zapíšeme souřadnice vrcholu D. Vypočteme souřadnici yD. Vypočteme souřadnici xD.   Z Obrázek 1

Grafické ověření výsledků. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. V rovnoběžníku ABCD jsou dány vrcholy A = [-1; -1], B = [3; 3] a střed úhlopříček S = [2,5; 0]. Určete zbývající vrcholy C a D. 3 Úhlopříčky rovnoběžníku ABCD se navzájem půlí v jeho středu S: |AS| = |SC| |BS| = |SD| Souřadnice vrcholů C a D: C = [6; 1] D = [2; -3] Grafické ověření výsledků.  Z

4 Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. 4 Leží-li bod C na ose x, pak je jeho souřadnice yC rovna nule: C = [xC; 0]. Souřadnici xC bodu C vypočteme pomocí vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů v rovině: Z Obrázek 2

4 Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. 4 Vyřešíme kvadratickou rovnici. Vyřešíme vzniklou rovnici. Dosadíme souřadnice bodu A a vzdálenost |AC|.  Obrázek 1

4 Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. 4 … úloha má dvě řešení Grafické ověření výsledků. Zapíšeme souřadnice bodů C1 a C2. Určíme kořeny kvadratické rovnice.   Z Obrázek 1

Grafické ověření výsledků. Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. Na ose x určete bod C tak, aby měl od bodu A = [-5; -6] vzdálenost 10. 4 Bod C musí ležet na kružnici se středem A a poloměrem 10 a zároveň na ose x. Úloha má dvě řešení: C1 = [3; 0] a C2 = [-13; 0]. Grafické ověření výsledků.  Z

5 Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. 5 |ASAB| = |SABB| |ASAC| = |SACC| |BSBC| = |SBCC| Souřadnice bodů B, C a SBC vypočteme pomocí vzorce pro určení souřadnic středu úsečky: Z Obrázek 2

5 Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. 5 Vrchol B: Vypočteme souřadnici xB. Dosadíme souřadnice bodů A a SAB. Zapíšeme souřadnice vrcholu B. Vypočteme souřadnici yB.  Obrázek 1

5 Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. 5 Vrchol C: Zapíšeme souřadnice vrcholu C. Vypočteme souřadnici xC. Dosadíme souřadnice bodů A a SAC. Vypočteme souřadnici yC.   Obrázek 1

5 Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. 5 Střed SBC: Dosadíme souřadnice bodů B a C. Grafické ověření výsledků. Zapíšeme souřadnice středu SBC. Vypočteme souřadnici s2. Vypočteme souřadnici s1.   Z Obrázek 1

Grafické ověření výsledků. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. 5 |ASAB| = |SABB| |ASAC| = |SACC| |BSBC| = |SBCC| Grafické ověření výsledků.  

5 Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. Určete zbývající souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC a středu strany BC, znáte-li: A = [3; 2], SAC = [4; 5] a SAB = [0; 3]. 5 Vrchol B trojúhelníku ABC. Vrchol C trojúhelníku ABC. Střed SBC trojúhelníku ABC.  Z

6 Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. 6 Obvod rovnoběžníku ABCD: o = 2 . (a + b) Délky stran a = |AB|, b = |BC| rovnoběžníku ABCD vypočteme pomocí vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů v rovině: 

6 Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. 6 Střed rovnoběžníku ABCD leží v průsečíku úhlopříček AC a BD, tedy ve středu úhlopříčky AC či BD. Souřadnice středu SABCD rovnoběžníku ABCD vypočteme pomocí vzorce pro určení souřadnic středu úsečky AC:  Z Obrázek 2

6 Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. 6 Vypočteme obvod rovnoběžníku ABCD. Vypočteme délku strany a. Dosadíme souřadnice bodů B a C. Dosadíme souřadnice bodů A a B. Dopočteme příklad. Dopočteme příklad. Vypočteme délku strany b.  Obrázek 1

Určíme souřadnice středu SABCD. Dosadíme délky stran a a b. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. 6 Obvod rovnoběžníku ABCD je přibližně 18,54. Určíme souřadnice středu SABCD. Dosadíme délky stran a a b. Dopočteme příklad.   Obrázek 1

6 Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. 6 Střed SABCD: Dosadíme souřadnice bodů A a C. Grafické ověření středu SABCD rovnoběžníku ABCD. Zapíšeme souřadnice středu SABCD. Vypočteme souřadnici s2. Vypočteme souřadnici s1.   Z Obrázek 1

Grafické ověření středu SABCD rovnoběžníku ABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. Vypočtěte obvod rovnoběžníku ABCD, je-li A = [-1; -1], B = [3; 3], C = [6; 1] a určete souřadnice jeho středu SABCD. 6 Střed rovnoběžníku ABCD leží v průsečíku úhlopříček AC a BD, tedy ve středu úhlopříčky AC či BD. Grafické ověření středu SABCD rovnoběžníku ABCD.  Z

7 Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. 7 Vrchol C má stejnou vzdálenost od vrcholu A i od vrcholu B. Souřadnice vrcholu C vypočteme pomocí vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů v rovině: Z Obrázek 2

7 Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. 7 Do obou rovnic dosadíme známé číselné hodnoty. Vzniklou rovnici upravíme. Obě rovnice umocníme. Rovnice od sebe navzájem odečteme.  Obrázek 1

Dopočteme souřadnici xC. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. 7 Dopočteme souřadnici xC. Řešíme rovnici.   Obrázek 1

Vyřešíme kvadratickou rovnici. Řešíme vzniklou rovnici. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. 7 Vyřešíme kvadratickou rovnici. Řešíme vzniklou rovnici.   Obrázek 1

7 Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. 7 … úloha má dvě řešení Grafické ověření výsledků. Určíme kořeny kvadratické rovnice. Zapíšeme souřadnice bodů C1 a C2.   Z Obrázek 1

Grafické ověření výsledků. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. 7 Má-li být vrchol C stejně vzdálen od vrcholu trojúhelníku A i B, pak musí ležet na kružnici se středem A a poloměrem 5 a zároveň na kružnici se středem B a poloměrem 5. Úloha má dvě řešení. Grafické ověření výsledků.  

Vrchol C2 trojúhelníku ABC2. Vrchol C1 trojúhelníku ABC1. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. Vypočítejte souřadnice vrcholu C trojúhelníku ABC, který má od vrcholů A = [4; 7] a B = [4; 1] vzdálenost 5. 7 Vrchol C2 trojúhelníku ABC2. Vrchol C1 trojúhelníku ABC1.  Z

Zdroj obrázků: Všechny uveřejněné odkazy [2011-04-02] dostupné pod licencí Public domain na WWW: Obrázek 1: <http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=514> Obrázek 2: <http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=281> Ostatní grafické objekty byly vytvořeny v programu GEONExt verze 1.73 <http://geonext.uni-bayreuth.de/>