Diskrétní diferenciální geometrie František Ježek e-mail: JEZEK@ KMA.ZCU.CZ Září 2009

Obsah přednášky Motivace Některé pojmy a tvrzení z diferenciální geometrie Pojmy a principy diskrétní diferenciální geometrie Aplikace geomorfologie výpočtová geometrie

Motivace

Geometrie a numerické metody Matematický model (diferenciální g.) Spojitý geometrický model (NURBS popis) Diskretizace matematického modelu Diferenciální rovnice Realita Soustava algebraických rovnic Diskrétní geometrický model (TIN) Výpočet a interpretace Matematický model (diskrétní diferenciální g. )

Pojmy a tvrzení z diferenciální geometrie

Lokální pojmy a energie Normálová křivost – nk Hlavní křivost – kd, kh Gaussova křivost - K Střední křivost - M Geodetická křivost – gk Willmorova energie - W

Lokální pojmy a energie Normálová křivost – nk Hlavní křivost – kd, kh Gaussova křivost - K Střední křivost - M Geodetická křivost – gk Willmorova energie - W

Globální věty Pro uzavřenou křivku pro integrál z 1. křivosti platí: kde q je celé číslo, tzv. orbit. Gauss-Bonnetova věta: Pro kompaktní plochu a pro její libovolnou triangulaci platí: kde g je genus polyedru, který vznikl triangulací kompaktní plochy.

Globální věty Jedinou kompaktní plochou s konstantní Gaussovou křivostí je kulová plocha. Na každé kompaktní ploše existuje bod s kladnou Gaussovou křivostí. Minimální plochy mají ve všech bodech nulovou střední křivost a představují pro danou hranici plochy s minimálním povrchem. Žádná kompaktní plocha není minimální. Kompaktní plochy s konstantní střední křivostí tvoří hranici s minimálním povrchem pro daný objem.

Pojmy a principy diskrétní diferenciální geometrie

Křivky První křivost – vnější úhel polygonu. Limitní a globální chování uzavřená křivka - (n+1) úhelník integrál z první křivosti pro diskrétní případ (konvexní)

Plochy Diskrétní Gaussova křivost – defekt, tedy doplňkový úhel k součtu hranových úhlů u daného vrcholu polyedru. Globální diskrétní Gaussova křivost – součet všech defektů.

Plochy Diskrétní Gaussova křivost – defekt, tedy doplňkový úhel k součtu hranových úhlů u daného vrcholu polyedru. Globální diskrétní Gaussova křivost – součet všech defektů. Descartova věta: Součet hranových úhlů v konvexním n-stěnu se rovná

Plochy Diskrétní Gaussova křivost – defekt, tedy doplňkový úhel k součtu hranových úhlů u daného vrcholu polyedru. Globální diskrétní Gaussova křivost – součet všech defektů. Descartova věta: Součet hranových úhlů v konvexním n-stěnu se rovná Součet všech defektů konvexního tělesa se tedy rovná , což je v souladu s Gauss-Bonetovu větou

Plochy Diskrétní Willmorova energie ve vrcholu

Plochy Diskrétní Willmorova energie ve vrcholu Krychle: U vrcholu tři úhly Každý 120 stupňů Willmorova energie je nulová

Plochy Diskrétní Willmorova energie ve vrcholu Krychle: U vrcholu tři úhly Každý 120 stupňů Willmorova energie je nulová Diskrétní Willmorova energie plochy

Plochy Diskrétní Willmorova energie krychle je nulová. Konzistence spojité a diskrétní Willmorovy energie: Willmorova energie diskrétní kompaktní plochy je nulová, právě když existuje kulová plocha opsaná danému mnohostěnu. V odvození řady vět se používá invariance pojmů k sférickým transformacím.

Aplikace výpočtová geometrie

Diskrétní geodetika (dle J. Zábranského)

Diskrétní geodetika (dle J. Zábranského)

Diskrétní geodetika na vícenásobně souvislém povrchu (dle A Diskrétní geodetika na vícenásobně souvislém povrchu (dle A. Porazilové)

Diskrétní geodetika na vícenásobně souvislém povrchu (dle A Diskrétní geodetika na vícenásobně souvislém povrchu (dle A. Porazilové)

Aplikace - geomorfologie

Geometrické formy reliéfu (Gauss - 1827)

Geometrické formy reliéfu (prof. Krcho)

Geometrické formy reliéfu (prof. Krcho)

Hranice elementárních forem georeliéfu (Pacina)

Literatura Pressley, A.: Elementary Differential Geometry. Springer 2002. Bobenko, I. A. at all: Discrete Differential Geometry. Birkhauser 2008. Pacina, J.: Postupy pro automatické vymezování elementárních forem georeliéfu jako součást geomorfologického informačního systému. Disertační práce. Plzeň 2008. Porazilová, A.: Shortest Paths on Polyhedral Surfaces. Disertační práce. Plzeň 2008. Zábranský, J.: Triangulace povrchů a úlohy na nich. Diplomová práce. Plzeň 2005.