KOMBINATORIKA Je část matematiky, která se zabývá uspořádáním daných prvků podle určitých pravidel do určitých skupin Máme množinu n různých prvků, z níž budeme vybírat prvky do skupin Je třeba rozlišit zda záleží nebo nezáleží na pořadí, ve kterém prvky vybereme (podle toho rozlišujeme variace a kombinace) zda se jednotlivé prvky ve skupině můžou nebo nemůžou opakovat (skupiny s opakováním nebo bez opakování) Základní pojmy: faktoriál, permutace, variace, kombinace

PERMUTACE je uspořádaná n-tice z daných n prvků Počet permutací bez opakování Symbol n! čteme n faktoriál 0!=1 Příklad: Kolik permutací bez opakování můžeme sestrojit z čísel 1,2,3. (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2); (3,2,1) P(3) = 3! = 3.2.1.= 6

PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM je uspořádání n prvků do skupin, v nichž se každý prvek opakuje právě ki krát Příklad: Kolik přesmyček lze vytvořit použitím všech písmen slova matematika? n = 6 k =10 m =2x; a = 3x; t = 2x; e = 1x; i = 1x; k = 1x;

Variace Variace bez opakování je skupina k prvků v určitém pořadí vybraná z n prvků Variace bez opakování Předpokládáme, že všechny prvky souboru jsou různé a každý se může ve variaci vyskytovat jen jednou Příklad: kolik trojciferných čísel lze sestavit z čísel 1,2,3,4,5, jestliže se cifry neopakují n=5; k = 3.

Příklad: Kolik čtyřciferných kladných čísel s různými číslicemi lze sestavit z číslic 0,1,2,5,6,7,8. Číslo nemůže začínat nulou, proto musíme všechny případy začínající nulou odečíst.

VARIACE S OPAKOVÁNÍM k-té třídy z n prvků je k prvková uspořádaná skupina prvků vybraných z n prvkové množiny, v níž se každý prvek může opakovat až k-krát. . Příklad: Kolik různých vrhů lze provést a) dvěma kostkami, b) třemi kostkami? 2-členné variace s opakováním; n =6, k =2 3 členné variace s opakováním ze šesti prvků

Kombinace bez opakování k-té třídy z n prvků je k prvková podmnožina základní množiny, v níž nezáleží na pořadí prvků. Prvky se neopakují. Příklad: Kolika způsoby je možno ze 6 kandidátů zvolit tři do výboru (nezávisí na pořadí). n=6, k=3.

Příklad. Ve studijní skupině je 18 studentů a 16 studentek Příklad. Ve studijní skupině je 18 studentů a 16 studentek. Kolika způsoby je možno vybrat 7 osob, z toho 4 studenty a 3 studentky. Nezáleží na pořadí. n = 18, Studenti Studentky

KOMBINACE S OPAKOVÁNÍM k-té třídy z n prvků je každá k-prvková skupina prvků vybraných z n prvků základní množiny, v níž se každý prvek může opakovat až k krát a v níž nezáleží na pořadí prvků. Příklad. V prodejně mají tři druhy pečiva. Kolika způsoby může zákazník vybrat 5 kusů. n=3, k=5 nezávisí na pořadí, prvky se mohou opakovat

Vlastnosti kombinačních čísel