Ing. Milan Houška KOSA PEF ČZU v Praze http://pef.czu.cz/~houska Úvod do předmětu EMM Ing. Milan Houška KOSA PEF ČZU v Praze http://pef.czu.cz/~houska

Systémová analýza Systémová analýza vytváří a aplikuje metody systémového přístupu a systémového modelování k řešení složitých rozhodovacích problémů. Přístup strukturovaný Přístup systematický Přístup systémový

Systém Systém je neprázdná, účelově definovaná množina prvků a vazeb mezi nimi, která spolu se svými vstupy a výstupy vykazuje jako celek ve svém vývoji kvantifikovatelné vlastnosti a chování. účel struktura: prvky, hranice, okolí, vazby chování: y = T(x)

Postup systémové analýzy Vymezení řešeného problému Identifikace systému na zkoumaném objektu Vytvoření systémového modelu a kvantifikace modelu Modelové výpočty a experimenty Interpretace výsledků a řešení problému Implementace a realizace řešení v praxi

Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a vlastnostmi jiného celku – modelu. Model je záměrně zjednodušený obraz skutečnosti vytvořený pomocí zvolených zobrazovacích prostředků.

Systémové modelování

Typy modelů Ikonické modely Symbolické modely grafické slovní matematické

Modely operačního výzkumu Optimalizační modely Distribuční a dopravní modely Modely teorie grafů Plánování a řízení projektů Modely vícekriteriálního rozhodování Teorie rozhodování a teorie her Simulační a stochastické modely

Lineární programování Definice modelu a jeho grafické řešení

Model lineárního programování Optimalizační model Hledá se vázaný extrém lineární funkce více proměnných, který vyhovuje daným lineárním omezujícím podmínkám Řešení musí být realizovatelné

Komponenty modelu Proměnné Omezující podmínky Podmínky nezápornosti Účelová (kriteriální) funkce

Typy omezujících podmínek Proměnné xi – rozhodovací (strukturní) proměnné Zachycují počet realizací daného procesu Vyjadřují se ve vhodných jednotkách Typy omezujících podmínek Kapacitní Požadavkové Určení

Podmínky nezápornosti Pro všechny proměnné všech typů Zajišťují aplikovatelnost řešení Účelová funkce Minimalizační Maximalizační

Matematický zápis modelu

Grafické řešení modelů LP Nejvýše dvě proměnné, libovolný počet OP Prostor řešení Nejvýše dvě OP, libovolný počet proměnných Prostor požadavků

Prostor řešení Na osy se vynášejí hodnoty proměnných Množina přípustných řešení je zobrazena průnikem polorovin OP Podmínky nezápornosti – uvažujeme pouze 1. kvadrant Účelová funkce je zobrazena jako mapa spojnic kombinací proměnných s konstantní hodnotou ÚF

Příklad – optimalizace investice Investor se rozhoduje o rozložení investice 10 000 000 Kč mezi akcie a podílové fondy (PF). Kvůli diverzifikaci investice požaduje nakoupit akcie za minimálně 1 500 000 Kč a minimálně 2 000 000 Kč uložit do PF. Dále si bodově ohodnotil rizikovost jedné koruny investované do akcií dvěma body (do PF jedním bodem) a požaduje celkovou rizikovost investice nejvýše 15 000 000 bodů. Investor předpokládá výnos z investice do akcií ve výši 6%, z investice do PF ve výši 4%. Jak má investor rozložit investici, aby za daných podmínek maximalizoval svůj výnos?

Definice modelu Proměnné – x1 … investice do akcií (mil. Kč) x2 … investice do PF (mil. Kč) Omezující podmínky celková výše investice x1 + x2 ≤ 10 diverzifikace x1 ≥ 1,5 x2 ≥ 2 riziko 2x1 + x2 ≤ 15 Podmínky nezápornosti x1, x2 ≥ 0 Účelová funkce Z = 1,06x1 + 1,04x2 → max

Grafické řešení modelu kuk - Excel

Prostor požadavků Hledáme efektivní způsob uspokojení daných požadavků Prostor vektorů koeficientů jednotlivých proměnných transformovaných na jednotkovou cenu Složením vektorů musí být vektor pravých stran Koeficienty v matici A přepočítáváme vzhledem k jednotkám ÚF Na osy vynášíme stupně uspokojení daných požadavků Nezápornost – nezáporné koeficienty lineární kombinace směrových vektorů Optimalita – vzdálenost průsečíku směrových vektorů s vektorem požadavků od počátku souřadnic

Příklad – portfolio II Investor se rozhoduje o rozložení investice mezi akcie, podílové fondy (PF), termínované vklady (TV) a hypoteční zástavní listy (HZL). Likviditu jednotlivých nástrojů si ohodnotil bodově (akcie 5 b, PF 4 b., TV 1 b. a HZL 3 b.). Požaduje, aby celková likvidita portfolia dosáhla právě 30 000 000 b. Výnosy nástrojů ohodnotil roční úrokovou mírou (akcie 6%, PF 4%, TV 1% a HZL 5%) a požaduje dosažení výnosu právě 3% p.a. Investuje celkem 10 000 000 Kč. Investor dále ohodnotil riziko plynoucí z držby jednotlivých aktiv 10, 8, 3 resp. 4 body. Jak má investor rozložit investici, aby za daných podmínek minimalizoval riziko?

Definice modelu Proměnné – x1 … investice do akcií (mil. Kč) x2 … investice do PF (mil. Kč) x3 … investice do TV (mil. Kč) x4 … investice do HZL (mil. Kč) Omezující podmínky likvidita 5x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = 30 výnos 1,06x1 + 1,04x2 + 1,01x3 + 1,05x4 = 10,3 Podmínky nezápornosti x1, x2, x3, x4 ≥ 0 Účelová funkce Z = 10x1 + 8x2 + 3x3 + 4x4 → min

Grafické řešení modelu kuk - Excel

Příklad k procvičení Definujte model lineárního programování Zvolte si vhodnou zobrazovací metodu Vyřešte model graficky