Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY DIFERENCIÁLNÍ POČET VE FYZICE

POJEM DERIVACE FUNKCE Derivací rozumíme výraz: Je-li y = f (x), pak lze derivaci rozepsat jako: Derivace je tedy limita podílu přírůstku navzájem vázaných veličin  y a  x. Nebo též:

DERIVACE ČASOVÉ ZÁVISLOSTI Ve fyzice obvykle zkoumáme závislost různých veličin na čase t. Například vyjadřujeme-li, jak se souřadnice polohového vektoru mění s časem, užijeme: Nebo též: kde t 0 je nějaký konkrétní čas, ve kterém uvažujeme například okamžitou rychlost nebo zrychlení. Okamžitá rychlost (její velikost) bývá definována jako průměrná rychlost na velmi krátkém časovém intervalu, což znamená vlastně provést limitní přechod. Obdobně můžeme postupovat při definování pojmu okamžité zrychlení (jeho velikosti).

ROVNOMĚRNÝ POHYB Vidíme, že konstanta k má význam velikosti okamžité rychlosti v. Dráha rovnoměrného pohybu roste přímo úměrně s časem.

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu roste kvadraticky s časem. Vidíme, že konstanta k má význam poloviny okamžitého zrychlení a / 2.

OBECNÝ MOCNINNÝ PRŮBĚH

Dráha pohybující se částice závisí na čase vztahem: a)Určete vztah pro velikost okamžité rychlosti v libovolném čase. b)Určete vztah pro velikost okamžitého zrychlení v libovolném čase. c)Je v nějakém čase velikost okamžité rychlosti této částice nulová? a) b) c) Částice má nulovou rychlost v čase 3 s, event. i –3 s. Ze získaných vztahů je dále vidět, že zrychlení míří neustále v kladném směru. Velikost rychlosti se do času 3 s zmenšuje, poté roste. Částice se pohybuje nejprve do záporných hodnot, poté se zastaví a vrací zpět. Zrychlení pak stále roste.

OBECNÝ MOCNINNÝ PRŮBĚH Z obrázku lze rovněž vyčíst fyzikální interpretaci odvozených vztahů a význam veličin jako okamžitá rychlost a zrychlení.

HARMONICKÝ PRŮBĚH

Získané závislosti lze názorně ukázat na obrázku. Okamžitá výchylka y je popsána sinusoidou. Její změnu popisuje okamžitá rychlost v zakreslená jako kosinusoida. Její změnu pak znázorňuje „převrácená“ nebo též „o čtvrt periody posunutá“ sinusoida spojená s veličinou okamžité zrychlení a. Všimneme si, že tam, kde se jedna veličina mění nejstrměji, tj. je nulová, je jiná v absolutní hodnotě maximální.

DERIVACE ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Ve fyzice se však častěji setkáváme s proměnnou t a písmeny x, y, z značíme souřadnice polohového vektoru v prostoru.

PŘÍKLADY Poloha tělesa vrženého z výšky h počáteční rychlostí v 0 pod elevačním úhlem  je popsána vztahy: Jako časové derivace těchto závislostí najdeme souřadnice vektorů okamžité rychlosti a okamžitého zrychlení v libovolném čase. Uvedené vztahy jsou v souladu s již dříve odvozenými. Při jejich budouvání lze postupovat i opačným směrem využitím primitivní funkce.

PŘÍKLADY Využitím diferenciálního počtu lze získat i extrémy (maxima a minima) užívaných veličin. a) Výšku výstupu lze získat jako maximum funkce y. b) Určíme, ve kterém časovém okamžiku, je velikost rychlosti minimální. Podle očekávání je rychlost minimální v místě nejvyššího výstupu, kdy je ypsilonová složka nulová a těleso s epohybuje jen ve směru osy x.

PŘÍKLADY Obdélníková smyčka o plošném obsahu 40 cm 2 se otáčí rovnoměrně v homogenním magnetickém poli o indukci 1,2 T frekvencí 50 Hz. Určete časový průběh a amplitudu indukovaného napětí. Nejvyšší hodnoty nabývá okamžitá hodnota indukovaného napětí v těch časových okamžicích, kdy je hodnota sinu 1, event. –1.

PŘÍKLADY Radiální hustota pravděpodobnosti výskytu elektronu ve vzdálenosti r od jádra získaná řešením Schrödingerovy rovnice je dána vztahem: kde a je tzv. Bohrův poloměr. V jaké vzdálenosti od jádra se elektron nachází s největší pravděpodobností? Hledanou vzdálenost nalezneme jako maximum výše uvedené funkce. Pro r = 0 nabývá funkce svého minima, pravděpodobnost výskytu elektronu v jádře je nulová. Svého maxima nabývá funkce pro r = a! (Elektron se tedy i podle Schrödingera nachází s největší pravděpodobností ve vzdálenosti odpovídající poloměru kruhové trajektorie z Bohrova planetárního modelu.)

Dag Hrubý, Josef Kubát – Diferenciální a integrální počet Milan Bednařík, Miroslava Široká, Petr Bujok - Mechanika POUŽITÉ ZDROJE A LITERATURA

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu OBZORY Autor: Michal Schovánek Předmět: Teoretická fyzika Datum: 30.března 2010