KMT/MCH2 – Mechanika 2 Přehled středoškolské mechaniky kontinua, didaktické aspekty problematiky Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Deformovatelná tělesa na SŠ, Hookův zákon, Vlastnosti tekutin, ideální kapalina, ideální plyn Tlak vnějších sil, Pascalův zákon Hydrostatický tlak, Torricelliho pokus, Archimedův zákon Proudění kapalin, viskozita Rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice Obtékání těles kapalinou Didaktické poznámky (miskoncepce, experimenty, úlohy) Obsah přednášky

Velmi omezený rozsah (ZŠ nic, 2. ročník SŠ, Molekulová fyzika a termika, pevné látky) Kvalitativně 5 základních typů deformací (tah, tlak, ohyb, smyk, krut), ale kvantitativně pouze tah (omezeno na 1D, neřešíme zúžení tyče při tahu apod.) Základní pojmy: Relativní prodloužení: ε = ∆l/l 0 (bezrozměrné) Normálové napětí:  n = Fn/S [Pa] Hookův zákon:  n = E* ε, E Youngův modul pružnosti v tahu [GPa] Kombinací vztah pro prodloužení tyče ∆l = (F*l 0 )/(E*S). Mechanika deformovatelných těles

Někdy uváděn rovněž klasický graf závislosti napětí na relativním prodloužení při tahu (pozor, různé možnosti; Hookův zákon platí pouze v první části křivky, do tzv. meze úměrnosti) Zajímavý problém - deformace tyče vlastní vahou (viz dále) Mechanika deformovatelných těles 2

Na ZŠ v 7. třídě (kapaliny bez hydrodynamiky včetně povrchového napětí apod.) i plyny (důraz na atmosférický tlak) Na SŠ v 1. ročníku kapaliny (mechanická část včetně hydrodynamiky), ve 2. ročníku v rámci tématu Molekulová fyzika a termika plyny a rovněž kapaliny (povrchové napětí, kapilární jevy apod. Mechanika tekutin

Tekutiny (kapaliny a plyny) se výrazně odlišují vnitřní strukturou od pevných látek, na rozdíl od nich jsou kvůli nízké vnitřní potenciální energii (ve srovnání s kinetickou) tvarově nestálé, molekuly nezaujímají rovnovážné polohy Kapaliny – jsou v podstatě nestlačitelné, tj. malý stálý objem, tvar je určen tvarem nádoby Plyny – jsou stlačitelné, objem i tvar je dán tvarem nádoby Poznámka – existuje ještě 4. skupenství – plazma (vysoce ionizovaný plyn) Ve vesmíru je drtivá většina hmoty v plazmatickém skupenství! Tekutiny Pevná látka- E pot > E kin Kapalina – E pot ≈ E kin Plyn – E kin > E pot

Pro zjednodušení zavádíme fyzikální abstrakce – ideální kapalina, ideální plyn Ideální kapalina (IK) – (i) je dokonale nestlačitelná, (ii) má nulové vnitřní tření Ideální plyn (IP) – (i) rozměry částic jsou zanedbatelné, (ii) částice na sebe mimo srážky silově nepůsobí,(iii) srážky jsou dokonale pružné Výhoda IP, IK – jednoduchý matematický popis Nevýhoda IP, IK – v řadě případů mimo realitu, např. popisovat med jako kapalinu bez vnitřního tření vede k nesmyslným výsledkům… Dále se budeme věnovat v podstatě jen případu IK. Ideální kapalina, ideální plyn

Hydrostatika se zabývá mechanickými vlastnosti kapalin nacházejících se v klidu. Základním veličinou je zde tlak (značíme p) definovaný jako síla na plochu. Tedy p= F/S. Jednotka tlaku je pascal (Pa). Rozměr Pa: p = F/S → Pa = N/m 2 = kg*m*s -2 /m 2 = kg*m -1 *s -2 Pozor, vždy musíme důsledně rozlišovat (a) tlak vyvolaný povrchovými silami (např. silou působící na píst v hydraulickém lisu) (b) tlak vyvolaný objemovými silami (např. tlak vyvolaný tíhovou silou působící na každou částici kapaliny) Tlak 1 F Píst – povrch S Tlak p = F/S vyvolaný povrchovou vnější silou Povrch dna S, hmotnost kapaliny m Tlak p = F G /S =m*g/S vyvolaný objemovou tíhovou silou F G.

Uvažujme, že na píst o obsahu S působíme vnější povrchovou silou F, objemové síly ignorujeme. Pascalův zákon: Tlak vyvolaný vnější povrchovou silou je ve všech místech kapaliny stejný! Důsledek: hydraulická zařízení (lis, zvedák apod.) – malou silou F 1 působící na malý píst obsahu S 1 můžeme vyvolat mnohem větší sílu F 2 působící na velký píst obsahu S 2 F 1 /S 1 = F 2 /S 2 Tlak vnějších sil, Pascalův zákon S1S1 S2S2 F1F1 F2F2 p = konst. → F 1 /S 1 = F 2 /S 2 → F 2 = F 1 *S 1 /S 2

Nyní uvažujme tlak u dna vyvolaný tíhovou silou F G (objemová síla) působící na kapalinu o hmotnosti m (hustota ρ) umístěnou v nádobě tvaru kvádru s povrchem dna S. p = F G /S = m*g/S = V*ρ*g/S = S*h*ρ*g/S= h*ρ*g Hydrostatický tlak tedy závisí na hustotě kapaliny, výšce hladiny a na tíhovém zrychlení. Výpočet pro tvar kvádru, platí však hydrostatické paradoxon: Hydrostatický tlak nezávisí na tvaru nádoby (ve skutečnosti nejde o žádný paradox, je to důsledek rovnic mechaniky kapalin!) Tlaková síla na dno: F = p*S = S*h*ρ*g. Hydrostatický tlak h F h SF S ρ ρ p p p = h*ρ*g

Příklad: Stanovte tlakové síly působící na stěny akvária tvaru kvádru o hraně a = 50 cm, které je kompletně naplněno vodou o hustotě ρ = 1000 kg/m 3. Tíhové zrychlení berte jako g = 10 m*s-2 Řešení: Tlakovou sílu na dno určíme snadno jako F 1 = p 1 *S = a*ρ*g*S = a*ρ*g*a 2 = a 3 *ρ*g = 0,5 3 *1000*10 = 1250 N. Horší je to s tlakovou silou F 2 na boční stěny (vzhledem k symetrii bude na všechny stejná). Tlak se v závislosti na hloubce h pod hladinou spojitě mění. U dna je hloubka a, u hladiny je 0. Proto vezmeme průměrnou hodnotu a/2 a spočteme: F 2 = p 2 *S = a/2*ρ*g*S = a/2*ρ*g*a 2 = a 3 /2*ρ*g = 0,5 3 /2*1000*10 = 625 N. Hydrostatický tlak 2 a F1F1 S = a 2 ρ p 1 = a*ρ*g p 2 = a/2* ρ*g p1p1 a/2 p2p2 Poznámka: Zprůměrování hloubek bylo možné pouze díky krychlovému tvaru nádoby!!

Pokus umožňující určit hodnotu atmosférického tlaku. Umístíme trubičku do nádoby se rtutí a uvidíme, ze rtuť v trubičce vystoupá do výšky h nad hladinu v nádobě. U hladiny v nádobě se musí rovnat hydrostatický tlak rtuti h*ρ*g atmosférickému tlaku p a (nahoře v trubičce je prakticky vakuum) → z výšky h určíme atmosférický tlak. Proč rtuť?? Má vysokou hustotu (ρ = kg*m - 3 ). Pro rtuť je pak výška h při p a = 100 kPa zhruba 76 cm, pro vodu by byla 10 m!!). Atmosférický tlak závisí na výšce nad zemí, s výškou klesá zhruba podle tzv. barometrické formule: p a = p 0 *e -ρ*g*h/k*T (e – Eulerovo číslo, zhruba 2,71, p 0 tlak v nulové výšce) Torricelliho pokus h ρ vakuum p a = h*ρ*g papa

V nádobě s kapalinou máme homogenní těleso tvaru krychle o hraně a. Horní podstava je h 1 pod hladinou, dolní poté h 2 pod hladinou. Na všechny stěny působí tlakové síly, ty z boku se však díky stejné velikosti a opačnému směru vyruší. Tlaková síla F 2 je však větší než tlaková síla F 1, jejich rozdílem je vztlaková síla F vz, která působí směrem vzhůru! Pro její velikost platí: F vz = F 2 - F 1 = p 2 *a 2 -p 1 *a 2 = (h 2 *ρ*g-h 1 *ρ*g)*a 2 = (h 2 -h 1 )*ρ*g *a 2 = a*a 2 * ρ*g = V*ρ*g. Výpočet jsme provedli pro těleso tvaru kvádru, složitěji lze ukázat, že platí i pro jiné tvary! Archimedův zákon 1 F2F2 F1F1 h2h2 h1h1 a p2p2 p1p1 a = h 2 – h 1

Pokud není ponořeno celé těleso, ale pouze určitá jeho část, musíme do vztahu pro vztllaovou sílu dosadit pouze objem ponořené části. Uvědomíme si, že pro tíhu kapaliny vytlačené těleso platí vztah F G = m*g = V ponor *ρ*g a můžeme zformulovat Archimedův zákon: Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, rovnající se tíze kapaliny stejného objemu jako je ponořená část tělesa. Poznámka: Archimedův zákon platí i pro plyny, hustota plynu je však zpravidla tak malá, že vztlaková síla může být zanedbána (ne vždy!) Archimedův zákon 2 F vz ρ ρ F vz = V*ρ*g V ponor F vz = V ponor *ρ*g F vz FGFG FGFG ρ t – hustota tělesa F G = m*g = V*ρt *g

Jak se bude těleso chovat v tíhovém poli v kapalině v závislosti na hustotě kapaliny ρ a hustotě tělesa ρ t ? Jsou 3 možnosti: a) ρ F vz = V*ρ*g → těleso klesá ke dnu b) ρ = ρ t → F G = V*ρ t *g = F vz = V*ρ*g → těleso bude celé ponořené, neklesne však ke dnu (hraniční případ) c) ρ > ρ t → F G = V*ρ t *g < F vz = V*ρ*g → část tělesa se vynoří. Jaká část zůstane ponořena? F G = F vz → V*ρ t *g = V ponor * ρ*g → V ponor = V*ρ t /ρ. Příklad: Jaká část ledovce (hustota ledu ρ l = 917 kg/m 3 ) je pod hladinou v mořské vodě o hustotě ρ v = 1030 kg/m 3 ? Řešení: Použitím vztahu V ponor = V*ρ l /ρ v dostáváme V ponor ≈ 0,89 V. Tj téměř 90% ledu je pod hladinou, pouze zhruba desetina nad ní (špička ledovce) Archimedův zákon 3

U reálné kapaliny vždycky existuje vnitřní tření, které vzniká kvůli vzájemnému silovému působení částic během proudění Vyšší vnitřní tření → pomalejší proudění Fyzikální veličina popisující vnitřní tření – viskozita. Rozlišujeme dynamickou viskozitu η a kinematickou viskozitu μ = η/ρ, kde ρ je hustota kapaliny. Viskozita s rostoucí teplotou kapaliny klesá! Popis reálných kapalin je matematicky velmi náročný, proto se budeme omezovat na případ ideální kapaliny (= nestlačitelné kapaliny s nulovou viskozitou) Viskozita

Na rozdíl od hydrostatiky se zabývá pohybem kapalin, tedy prouděním. Zajímá se o rychlost proudění případně energii kapaliny.Rozlišujeme proudění a) stacionární (rychlost se nemění v čase) b) nestacionární (rychlost se mění v čase). Důležitější je však rozdělení na a) laminární proudění – proudnice jsou navzájem rovnoběžné, nejsou víry b) turbulentní (vírové) proudění –dochází ke vzniku vírů. Přechod od laminárního k turbulentímu proudění nastává při zvýšení rychlosti, závisí však i na průměru trubice d a kinematické viskozitě μ. Přechod popisuje tzv. Reynoldsovo číslo Re = v*d/ μ, turbulentní proudění nastává zhruba pro Re > 4000 Hydrodynamika – typy proudění Laminární proudění turbulentní proudění Pozn. vzhledem k viskozitě není rychlost stejná!!

Při proudění kapaliny zavádíme veličinu objemový tok Q V udávající, jaký objem protekl za jednotku času. Pro výpočet platí Q V = S*v, jednotka je proto m 2 *m*s -1 = m 3 *s -1 Pro ideální kapalinu (je nestlačitelná) platí, že objemový tok v různých průřezech trubice musí být stálý (kapalina se nemůže nikam ztratit, jde o přímý důsledek zákona zachování hmotnosti!) Rovnice kontinuity: Q V = konst. → S 1 *v 1 = S 2 *v 2 Pokud tedy zmenšíme, průřez zvětší se rychlost (viz zahradní hadice apod.) Rovnice kontinuity S1S1 S2S2 v2v2 v1v1 S 1 *v 1 = S 2 *v 2 Rychlost v průřezu uvažujeme všude stejnou, protože jde o IK (tj. nulové vnitřní tření)

Tlaková potenciální energie Tlaková potenciální energie – má-li kapalina tlak p a pohne pístem s průřezem S o délku ∆l, koná práci E pt = W = F*∆l = p*S*∆l = p*∆V. Tlaková potenciální energie vztažená na jednotku objemu je rovnou (hydrodynamický) tlak. ∆l p F píst

Zákon zachování mechanické energie pro proudění ideální kapaliny (viz 4. přednáška) – obecně zahrnuje kinetickou energii E kin = ½*m*v 2, potenciální energii E pot = m*g*h a tlakovou energii E tl = p*V. Součet musí být konstantní. Bernoulliho rovnice je zpravidla ve tvaru po vydělení objemem V: ½*ρ*v 2 + ρ*g*h + p = konst. Pro vodorovnou trubici (tj- stálá potenciální tíhová energie máme: ½*ρ*v 2 + p = konst. (tj. růst rychlosti vede ke snížení tlaku!) Pro reálnou kapalinu rovnice neplatí kvůli přítomnosti vnitřního tření (stejně jako neplatí ZZME pro volný pád, když počítáme odpor vzduchu – přeměna na vnitřní energii!) Bernoulliho rovnice h2h2 h1h1 v1v1 v2v2 p1p1 p2p2 ½*ρ*v ρ*g*h 1 +p 1 = ½*ρ*v ρ*g*h 2 + p 2

Uvažujeme nádobu průřezu S 1, z jejíhož dna vytéká kapalina otvorem velikosti S 2. Jaká je výtoková rychlost v? Užitím rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice dostáváme (případ IK) vztah v = √ 2*g*h/(1-S 2 2 /S 1 2 ) Pokud je S 2 << S 1 (tj. velmi malý otvor), získáváme Torricelliho vztah: v = √2*g*h (stejný vzorec jako pro dopadovou rychlost při volném pádu bez odporu z výšky h) Integrálem lze určit dobu výtoku. Výtok kapaliny otvorem S2S2 S1S1 v RK: S 1 *v 1 = S 2 *v BR: ½*ρ*v ρ*g*h+ p a = ½*ρ*v 2 + p a, řešením soustavy: v = √2*g*h/(1-S 2 2 /S 1 2 ) ρ p a – atmosférický tlak h v1v1

Při obtékání nehybného tělesa kapalinou nebo pohybu tělesa v kapalině vzniká odporová síla. Její velikost je dána pro laminární proudění Stokesovým vzorcem F od = 6*π*r*v*η (r – poloměr koule, v relativní rychlost tělesa a kapaliny, η dynamická viskozita) Pro turbulentní proudění platí Newtonův vzorec F od = ½*C*S*ρ*v 2 (C je koeficient daný tvarem tělesa, je určován zpravidla experimentálně) Obtékání těles kapalinou v ρ S – průřez tělesa Odporové síly: Stokes (laminární proudění): F od = 6*π*r*v*η Newton (turb. proudění): F od = ½*C*S*ρ*v 2 F od

Zaměňování tlaku vyvolaného vnějšími silami a tíhovou silou (tj. užívání Pascalova zákona pro hydrostatický tlak), problémy s pochopením podstaty atmosférického tlaku. Nepochopení podstaty vztlakové síly jako rozdílu tlakových sil působících na dolní a horní podstavu  mechanické užívání vzorce F = V*ρ*g s chápáním V jako objemu celého tělesa i tam, kde není vhodný. Nepochopení pojmu tlaková potenciální energie a s tím související problémy s Bernoulliho rovnicí (hydrodynamický paradox). Představa, že tlak je v zúženém průřezu větší, což je v rozporu s Bernoulliho rovnicí. Časté miskoncepce studentů

U mechaniky deformovatelných těles problematické, vhodné zařadit laboratorní úlohu na měření Youngova modulu pružnosti (vhodná např. prádlová guma) či využít modul od Vernieru apod. Významné experimenty a měření 1

Významné experimenty a měření 2 U mechaniky tekutin řada experimentů, velmi vhodné demonstrovat atmosférický tlak a provést odpovídající pokus s plastovou lahví s otvorem. Na procvičení zákona akce a reakce a vztahu pro vztlakovou sílu vhodné provést pokus se sílou působící na závaží a vzduchu a ve vodě, přičemž kádinka stojí na vahách. Úkol: Tento pokus lze rovněž využít ke měření hustoty homogenního tělesa zavěšeného na siloměr. Odvoďte vzorec pro uvedenou hustotu pomocí hustoty vody ρ v, změny hmotnosti udané vahami po ponoření tělesa ∆m a tíhové síly působící na těleso na vzduchu F G. Na hydrodynamiku vhodné fouknutí mezi dva listy papíru

Významné výpočtové úlohy Řada možností, uveďme dvě zajímavé úlohy (1 na deformace, 1 na tekutiny): Určete, o kolik se prodlouží v důsledku působení tíhové síly svisle umístěná ocelová tyč o původní délce 1 m, když víte, že hustota oceli je 7800 kg/m 3 a její Youngův modul je 210 GPa. Uvažujme korkovou (hustota korku je 200 kg/m 3 ) krychli o hraně 10 cm, která je udržována pod hladinou vody o hustotě 1000 kg/m 3 pomocí brčka o průměru 5 cm. Jakou silou musíme působit na brčko?