EMM21 Ekonomicko-matematické metody 2 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík,CSc.

EMM22 Matematický aparát MME (1) Funkce 1 proměnné „ y je funkcí x “ y = f(x) y... závisle proměnná x... nezávisle proměnná Př.: HV = f(ZP) „Hrubá výroba“ je funkcí „základních prostředků“

EMM23 Matematický aparát MME … (2) Funkce více proměnných: y = f(x 1, x 2,..., x n ) „ y je funkcí x 1, x 2,..., x n “ (2) Matice (vektory) typ ( m  n )

EMM24 Matematický aparát MME … Vektory = speciální matice (k  1) „sloupcový vektor“ „transponovaný (řádkový) vektor“

EMM25 Matematický aparát MME … Násobení vektorů ( tj. matic (1  k ) „krát“ ( k  1) tzv. skalární součin vektorů x T = [x 1, x 2,...,x k ] x T.y = = x 1 y 1 + x 2 y x k y k = „číslo“ T - transpozice ( výměna řádků za sloupce a opačně )

EMM26 Násobení matic C = A. B x = (m  n).(n  k) = (m  k) A i -tý ř. j -tý sl. m n n k k i -tý ř. m Skalární součin vektorů A B C

EMM27 Příklad 1 Příklad 2

EMM28 Příklad 3 A x = b x x x 3 = 10 2.x x x 3 = 11 3.x x x 3 = 12

EMM29 Inverzní matice A -1 E.A = A.E = A A - čtvercová, nesingulární matice typu ( n x n ) ( det A  0, nebo hodnost A = n ): A -1.A = A.A -1 = E Jednotková matice Inverzní matice

EMM210 Řešení soustavy lineárních rovnic: A x = b A -1 A x = A -1 b x = A -1 b E (násobíme zleva A -1 )

EMM211 Příklad 4 A.x = b

EMM212 Příklad 4 … Řešení: =

EMM213 Extrém funkce (maximum) f(x)... reálná funkce definována na množině X  R n... maximální hodnota f na X... množina bodů z X v níž je dosažena maximální hodnota funkce f na X

EMM214 Extrém funkce (minimum) f(x)... reálná funkce definována na množině X  R n... minimální hodnota f na X... množina bodů z X v níž je dosažena minimální hodnota funkce f na X

EMM215 Extrém funkce … f(x) = 2 - (x-1) 2, X = [0, 3] = 2, = {1} Příklad 5 a) X f(x)f(x) x

EMM216 Extrém funkce … f(x) = 2 - (x-1) 2, x  [0, 1] = X = 1, x  [1, 3] = 2, = [1, 3] Příklad 5 b) X f(x)f(x) x = 1 = {0}

EMM217 Matematické programování Základní úloha f(x 1, x 2,...,x n )  MAX;(1) za podmínek g 1 (x 1, x 2,..., x n )  b 1 g 2 (x 1, x 2,..., x n )  b (2) g m (x 1, x 2,..., x n )  b m x 1  0, x 2  0,..., x n  0

EMM218 Matematické programování Základní úloha f(x 1, x 2,...,x n )  MAX; (1) účelová funkce za podmínek g 1 (x 1, x 2,...,x n )  b 1 g 2 (x 1, x 2,...,x n )  b (2) omezující podmínky g m (x 1, x 2,...,x n )  b m (mohou chybět) x 1  0, x 2  0,..., x n  0 podmínky nezápornosti

EMM219 Příklad 6 Nalezněte dvě kladná čísla s maximálním možným součinem, jejich součet je nejvýše 10: x 1 x 2  MAX; f(x 1, x 2 ) = x 1.x 2 za podmínek x 1 + x 2  10 g 1 (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 x 1  0, x 2  0 Řešení na semináři pomocí Excel – Řešitel (Výsledek: x 1 * = 5, x 2 * = 5 )

EMM220 Základní úloha … min f(x) = - max -f(x) x * = arg min f(x) = arg max (- f(x)) x f(x)f(x) -f(x)-f(x) 0

EMM221 Převedení nerovností na rovnosti přídatné proměnné: x n+1, x n+2,..., x n+m : g 1 (x 1, x 2,...,x n ) + x n+1 = b 1 g 2 (x 1, x 2,...,x n ) + x n+2 = b 2 ………………………………………….. g m (x 1, x 2,...,x n ) + x n+m = b m x j  0 j = n+1,..., n+m

EMM222 Převedení rovnice na nerovnost g j (x 1, x 2,...,x n ) = b j   g j (x 1, x 2,...,x n )  b j, g j (x 1, x 2,...,x n )  b j

EMM223 Příklad 6 – převedení omezujících podmínek na rovnosti x 1 x 2  MAX; za podmínek x 1 + x 2 + x 3 = 10 x 1  0, x 2  0, x 3  0 Ověření na semináři pomocí Excel - Řešitel

EMM224 Celočíselnost x i jako nelineární podmínka - „matematická kuriozita“ binární proměnné x i  {0,1} : x i 2 - x i = 0 i = 1, 2,...,n Podmínka nezápornosti proměnných x = x´ - x´´ kde x´  0, x´´  0 Každé číslo (nezáporné nebo záporné) x lze zapsat jako rozdíl dvou nezáporných čísel x´, x´´:

EMM225 Lokální a globální extrémy x 0... lokální maximum funkce f(x)...(lokální minimum funkce)  okolí U bodu x 0 :  x  U  X platí f(x)  f(x 0 ) (f(x)  f(x 0 ) ) x *... globální maximum f(x)... (globální minimum funkce)  x  X platí f(x)  f(x 0 ) (f(x)  f(x 0 ) )