EMM21 Ekonomicko-matematické metody 2 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík,CSc.

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY
Advertisements

Dualita úloh lineárního programování a analýza citlivosti
SIMPLEXOVÝ ALGORITMUS Řešení v tabulkovém procesoru
MATLAB LEKCE 7.
Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín
Seminární práce číslo: 7 Zpracoval : Vladimír KORDÍK T-4.C
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
( část 2 – vektory,matice)
Lineární programování Simplexový algoritmus
Lineární algebra.
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík
Matice D.: Matice je systém m .n čísel, uspořádaný do m řádků a n sloupců. Je to jenom symbol, nemá to žádnou číselnou hodnotu! Označení: řádek, řádkový.
 př. 4 výsledek postup řešení Zjistěte, zda jsou vektory a, b, c lineárně závislé. a=(1;2;3), b=(3;0;1), c=(-1;4;5)
Gaussova eliminační metoda
Příklad postupu operačního výzkumu
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování
Vektory Práce s vektory Př.: Mějme dva vektory z Udělejme kombinace
Lineární zobrazení Definice 46.
Inverzní matice potom Že je to dobře:.
Matice.
Způsob řešení soustavy lineárních rovnic
Analýza 1 J.Hendl. Reálná funkce reálné proměnné Def: Nulový bod funkce je x takové, že: Def: Monotonie Funkce je rostoucí, jestliže Funkce je klesající,
Nelineární programování - úvod
Opakování.. Práce se zlomky.
A. Soustavy lineárních rovnic.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 15. PŘEDNÁŠKA.
Lineární zobrazení.
Uložení čísel v počítači Informatika pro ekonomy II doplněk.
Derivace funkce. Velikost populace v čase t 0 je N (t 0 ). Velikost populace v čase t  t 0 je N ( t ). Přírůstek populace za jednotku času je [N(t) –
Základní operace s maticemi
Gradientní metody Metoda největšího spádu (volný extrém)
Vektorové prostory.
Nelinearity s hysterezí Přerušení platnosti relace vytváří dvě různé charakteristiky, jejichž platnost je podmíněna směrem pohybu Hystereze přepínače x.
Základní operace s maticemi
Přednes 5 Lokální interpolační funkce na trojúhelníkovém prvku.
Simplexová metoda pro známé počáteční řešení úlohy LP
2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky
Lineární programování - charakteristika krajních bodů
Grafické řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých II.
Lineární programování - úvod
Grafické řešení Jediné optimální řešení. Zadání příkladu z = 70x x 2 → MAX omezení:  x 1 + 2x 2 ≤ 360  x 1 + x 2 ≤ 250  x i ≥ 0, i= 1, 2.
doc. RNDr. Zdeněk Botek, CSc.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY
ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
Matice přechodu.
KVADRATICKÉ NEROVNICE
Soustavy lineárních rovnic. Soustava m lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b.
Operační výzkum Lineární programování Dualita v úlohách lineárního programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace.
MME51 Ekonomicko-matematické metody 5 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
EMM31 Ekonomicko-matematické metody 3 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík,CSc.
Matice Přednáška č.4. Definice: Soubor prvků nazýváme maticí typu i-tý řádek j-tý sloupec prvky matice.
MME41 Ekonomicko-matematické metody 4 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
Lineární funkce Rozdělení lineárních funkcí Popis jednotlivých funkcí.
Lineární rovnice a jejich soustavy
A. Soustavy lineárních rovnic. y = 2x + 5 2x – y = -5 a 1 x 1 + a 2 x 2 = b a 1 = 2 a 2 = -1 b = - 5 x + y = 5 3x + 3y = 18 x + y = 5 3x + 3y = 15 x +
Simplexová metoda.
Ing. Milan Houška KOSA PEF ČZU v Praze
Derivace funkce Přednáška 2.
KIV/ZD cvičení 7 Tomáš Potužák.
Nerovnice v součinovém tvaru
Analýza výsledků v modelech lineárního programování
Kvadratické nerovnice
Matematika pro ekonomy Jaro 2012 Ivana Vaculová
VY_32_INOVACE_RONE_03 Rovnice a nerovnice Lineární nerovnice.
1 Lineární (vektorová) algebra
Lineární optimalizační model
Základní operace s maticemi
Definiční obory. Množiny řešení. Intervaly.
Transkript prezentace:

EMM21 Ekonomicko-matematické metody 2 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík,CSc.

EMM22 Matematický aparát MME (1) Funkce 1 proměnné „ y je funkcí x “ y = f(x) y... závisle proměnná x... nezávisle proměnná Př.: HV = f(ZP) „Hrubá výroba“ je funkcí „základních prostředků“

EMM23 Matematický aparát MME … (2) Funkce více proměnných: y = f(x 1, x 2,..., x n ) „ y je funkcí x 1, x 2,..., x n “ (2) Matice (vektory) typ ( m  n )

EMM24 Matematický aparát MME … Vektory = speciální matice (k  1) „sloupcový vektor“ „transponovaný (řádkový) vektor“

EMM25 Matematický aparát MME … Násobení vektorů ( tj. matic (1  k ) „krát“ ( k  1) tzv. skalární součin vektorů x T = [x 1, x 2,...,x k ] x T.y = = x 1 y 1 + x 2 y x k y k = „číslo“ T - transpozice ( výměna řádků za sloupce a opačně )

EMM26 Násobení matic C = A. B x = (m  n).(n  k) = (m  k) A i -tý ř. j -tý sl. m n n k k i -tý ř. m Skalární součin vektorů A B C

EMM27 Příklad 1 Příklad 2

EMM28 Příklad 3 A x = b x x x 3 = 10 2.x x x 3 = 11 3.x x x 3 = 12

EMM29 Inverzní matice A -1 E.A = A.E = A A - čtvercová, nesingulární matice typu ( n x n ) ( det A  0, nebo hodnost A = n ): A -1.A = A.A -1 = E Jednotková matice Inverzní matice

EMM210 Řešení soustavy lineárních rovnic: A x = b A -1 A x = A -1 b x = A -1 b E (násobíme zleva A -1 )

EMM211 Příklad 4 A.x = b

EMM212 Příklad 4 … Řešení: =

EMM213 Extrém funkce (maximum) f(x)... reálná funkce definována na množině X  R n... maximální hodnota f na X... množina bodů z X v níž je dosažena maximální hodnota funkce f na X

EMM214 Extrém funkce (minimum) f(x)... reálná funkce definována na množině X  R n... minimální hodnota f na X... množina bodů z X v níž je dosažena minimální hodnota funkce f na X

EMM215 Extrém funkce … f(x) = 2 - (x-1) 2, X = [0, 3] = 2, = {1} Příklad 5 a) X f(x)f(x) x

EMM216 Extrém funkce … f(x) = 2 - (x-1) 2, x  [0, 1] = X = 1, x  [1, 3] = 2, = [1, 3] Příklad 5 b) X f(x)f(x) x = 1 = {0}

EMM217 Matematické programování Základní úloha f(x 1, x 2,...,x n )  MAX;(1) za podmínek g 1 (x 1, x 2,..., x n )  b 1 g 2 (x 1, x 2,..., x n )  b (2) g m (x 1, x 2,..., x n )  b m x 1  0, x 2  0,..., x n  0

EMM218 Matematické programování Základní úloha f(x 1, x 2,...,x n )  MAX; (1) účelová funkce za podmínek g 1 (x 1, x 2,...,x n )  b 1 g 2 (x 1, x 2,...,x n )  b (2) omezující podmínky g m (x 1, x 2,...,x n )  b m (mohou chybět) x 1  0, x 2  0,..., x n  0 podmínky nezápornosti

EMM219 Příklad 6 Nalezněte dvě kladná čísla s maximálním možným součinem, jejich součet je nejvýše 10: x 1 x 2  MAX; f(x 1, x 2 ) = x 1.x 2 za podmínek x 1 + x 2  10 g 1 (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 x 1  0, x 2  0 Řešení na semináři pomocí Excel – Řešitel (Výsledek: x 1 * = 5, x 2 * = 5 )

EMM220 Základní úloha … min f(x) = - max -f(x) x * = arg min f(x) = arg max (- f(x)) x f(x)f(x) -f(x)-f(x) 0

EMM221 Převedení nerovností na rovnosti přídatné proměnné: x n+1, x n+2,..., x n+m : g 1 (x 1, x 2,...,x n ) + x n+1 = b 1 g 2 (x 1, x 2,...,x n ) + x n+2 = b 2 ………………………………………….. g m (x 1, x 2,...,x n ) + x n+m = b m x j  0 j = n+1,..., n+m

EMM222 Převedení rovnice na nerovnost g j (x 1, x 2,...,x n ) = b j   g j (x 1, x 2,...,x n )  b j, g j (x 1, x 2,...,x n )  b j

EMM223 Příklad 6 – převedení omezujících podmínek na rovnosti x 1 x 2  MAX; za podmínek x 1 + x 2 + x 3 = 10 x 1  0, x 2  0, x 3  0 Ověření na semináři pomocí Excel - Řešitel

EMM224 Celočíselnost x i jako nelineární podmínka - „matematická kuriozita“ binární proměnné x i  {0,1} : x i 2 - x i = 0 i = 1, 2,...,n Podmínka nezápornosti proměnných x = x´ - x´´ kde x´  0, x´´  0 Každé číslo (nezáporné nebo záporné) x lze zapsat jako rozdíl dvou nezáporných čísel x´, x´´:

EMM225 Lokální a globální extrémy x 0... lokální maximum funkce f(x)...(lokální minimum funkce)  okolí U bodu x 0 :  x  U  X platí f(x)  f(x 0 ) (f(x)  f(x 0 ) ) x *... globální maximum f(x)... (globální minimum funkce)  x  X platí f(x)  f(x 0 ) (f(x)  f(x 0 ) )